Xét tính đúng sai của mệnh đề sau: Số u = f(x) = 4x+a/2x-5 đồng biến trên khoảng (3; +∞)

Để kiểm tra tính đồng biến của hàm số \( f(x) = \frac{4x + a}{2x - 5} \) trên khoảng \( (3; +\infty) \), chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số này.

Giả sử hàm số \( f(x) \) có dạng:

\[
f(x) = \frac{u}{v}
\]

Với \( u = 4x + a \) và \( v = 2x - 5 \).

Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương, ta có:

\[
f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]

Trong đó:

- \( u' = 4 \)
- \( v' = 2 \)

Thay vào công thức đạo hàm, ta có:

\[
f'(x) = \frac{4(2x - 5) - (4x + a)(2)}{(2x - 5)^2}
\]

Rút gọn biểu thức trong tử số:

\[
= \frac{8x - 20 - (8x + 2a)}{(2x - 5)^2}
\]
\[
= \frac{-20 - 2a}{(2x - 5)^2}
\]

Xét dấu của \( f'(x) \):

- Tử số \( -20 - 2a \) sẽ quyết định tính dấu của \( f'(x) \).
- Mẫu số \( (2x - 5)^2 \) luôn dương trên khoảng \( (3; +\infty) \) vì \( 2(3) - 5 = 1 > 0 \).

Vậy \( f'(x) > 0 \) trên khoảng này khi \( -20 - 2a > 0 \) hay \( a < -10 \).

- Nếu \( a < -10 \), hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng \( (3; +\infty) \).
- Nếu \( a \geq -10 \), hàm số \( f(x) \) không đồng biến trên khoảng đó.

Tóm lại: Mệnh đề "Số u = f(x) = \frac{4x + a}{2x - 5} đồng biến trên khoảng (3; +∞)" là đúng với điều kiện \( a < -10 \) và sai nếu \( a \geq -10 \).