Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

\[ A = x^2 + 2y^2 - 2xy + 8y + 7, \]

ta sử dụng phương pháp khai triển thành một biểu thức bậc hai theo biến \(x\) hoặc biến \(y\). Cách phổ biến là biến đổi dạng của biểu thức.

Trước tiên, ta có thể viết lại \(A\):

\[ A = x^2 - 2xy + 2y^2 + 8y + 7. \]

Trong phần này, \(x^2 - 2xy + 2y^2\) có thể được nhìn nhận như một biểu thức bậc hai theo biến \(x\). Ta viết lại nó dưới dạng:

\[ A = (x - y)^2 + 2y^2 + 8y + 7. \]

Giờ đây, ta thấy rằng \( (x - y)^2 \geq 0 \) với mọi \(x\) và \(y\). Để tìm GTNN của \(A\), ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của phần còn lại khi \( (x - y) = 0 \), tức là \(x = y\).

Thay \(x = y\) vào biểu thức:

\[ A = 0 + 2y^2 + 8y + 7. \]

Giờ ta cần tìm GTNN của biểu thức \(2y^2 + 8y + 7\). Đây là một hàm bậc hai có dạng:

\[ f(y) = 2y^2 + 8y + 7. \]

GTNN của hàm bậc hai này xảy ra tại đỉnh của nó, được tính bằng công thức:

\[ y = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2. \]

Thay giá trị \(y = -2\) vào biểu thức \(f(y)\):

\[ f(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 7. \]

Tính toán:

\[ f(-2) = 2 \cdot 4 - 16 + 7 = 8 - 16 + 7 = -1. \]

Vậy GTNN của biểu thức \(A\) là:

\[ A_{min} = -1. \]

Tóm lại, giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(-1\) khi \(x = -2\) và \(y = -2\).