### a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Trong tam giác vuông ABC tại A, với \( M \) là trung điểm của \( BC \). Do đó, theo định nghĩa, \( AM \) là đường trung tuyến.

Vẽ \( MD \) vuông góc với \( AB \) (D thuộc \( AB \)) và \( ME \) vuông góc với \( AC \) (E thuộc \( AC \)). Ta thấy rằng:

- \( MD \) vuông góc với \( AB \) \( \Rightarrow MD \perp AB\)
- \( ME \) vuông góc với \( AC \) \( \Rightarrow ME \perp AC\)

Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có \( AB \perp AC \). Vì vậy, từ đó suy ra:

- \( MD \) vuông góc với \( AB \)
- \( ME \) vuông góc với \( AC \)

Do đó, ta có:
- \( ME \parallel AD \)
- \( MD \parallel AE \)

Vì AD và ME vuông góc với nhau theo định nghĩa các đường vuông góc, và tương tự cho MD và AE. Kết luận là tứ giác \( ADME \) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác AFCM là hình thoi.

Để chứng minh tứ giác \( AFCM \) là hình thoi, cần chứng minh rằng tất cả các cạnh của nó đều có độ dài bằng nhau, tức là \( AF = FC = CM = MA \).

- Điểm \( F \) là điểm đối xứng của \( M \) qua \( E \). Do đó, từ tính chất của điểm đối xứng:
\[
AF = ME \quad \text{và} \quad CM = AM
\]
- Vì \( E \) là chân đường cao (vì \( ME \perp AC \)) và \( M \) là trung điểm của \( BC \). Kết thúc với:
\[
AF = FC \quad \text{(từ tính chất đối xứng)}
\]

Suy ra \( AFCM \) có các cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, từ đó ta kết luận rằng \( AFCM \) là hình thoi.

### c) Gọi O là giao điểm của AM và DE. Chứng minh ba điểm B, O, F thẳng hàng.

Xét đường trung tuyến \( AM \) cắt \( DE \) tại điểm \( O \). Dễ thấy vì \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \), nên \( O \) nằm trong mặt phẳng vuông góc với \( AB \) và \( AC \).

Ta nhận thấy rằng ba điểm \( B \), \( O \), và \( F \) sẽ thẳng hàngif \( AF = FC \) (điều này đã được chứng minh ở trên) và do \( F \) là đối xứng của \( M \) qua \( E \). Khi \( O \) nằm trên đường nối giữa \( M \) và \( E \), đồng nghĩa với việc \( O \) phải thỏa mãn khả năng O, B và F nhất định sẽ thẳng hàng.

### d) Biết rằng \( AC = 16 \text{cm} \), \( BC = 20 \text{cm} \). Tính diện tích tứ giác \( ADME \).

Diện tích tứ giác \( ADME \) có thể tính bằng toàn bộ diện tích của tam giác vuông \( ABC \) (được tính bằng công thức \( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \)) và phân chia ra tích cực.

Với khoảng cách \( AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12 \text{cm} \).

Diện tích của tam giác sẽ được tính như sau:
\[
\text{Diện tích} \, ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 \text{cm}^2
\]

Tờ giác \( ADME \) là một phần của tam giác ABC và do đó diện tích chính là diện tích tam giác \( ABC\) chia đôi dọc đường trung tuyến.

Vậy, diện tích \( ADME = \frac{96}{2} = 48 \text{cm}^2 \).

Kết thúc, ta có diện tích tứ giác \( ADME \) là \( 48 \text{cm}^2 \).