Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh ∠ABM = ∠DCM

1. **Gọi M là trung điểm của BC**: Do đó, \( BM = MC \).
2. **Xét tam giác ABM và DCM**:
- Ta có \( AM = MD \) (theo giả thiết).
- \( AB = AC \) (do tam giác là cân).
- \( BM = MC \) (do M là trung điểm).
3. **Sử dụng định lý về góc**: Trong tam giác cân, góc ở đỉnh (ABM) bằng góc ở đáy (DCM). Do đó, ta có \( \angle ABM = \angle DCM \).

### b) Chứng minh AC // BD

1. Từ a) ta đã chứng minh được \( \angle ABM = \angle DCM \).
2. Khi hai góc này bằng nhau và chúng cùng nằm ở hai đường thẳng cắt nhau (AB và DC), theo định nghĩa các góc đồng vị, ta có \( AC \parallel BD \).

### c) Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC

1. **Điểm M là trung điểm của BC**: Điều này đã được cho.
2. **Chứng minh chiều dài**: Do M là trung điểm và AM = MD, ta có \( AM = MB \) và \( AM = MC \), nên \( AB = AC \).
3. **Kết luận**: Từ đó, ta thấy AM cắt BC tại M và chia đoạn BC thành hai phần bằng nhau, chứng tỏ rằng AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Đó là các bước giải cho bài toán dựa trên các tính chất và định lý cơ bản của hình học!