Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta sẽ thực hiện theo từng phần:

### a) Chứng minh AFHF là hình chữ nhật

1. **Đặc điểm của hình chữ nhật**: một hình chữ nhật có bốn góc vuông và hai cặp cạnh song song.

2. **Tính chất của tam giác vuông**: Ta có tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Do AH là đường cao, ta có:
- HE là đường vuông góc với AB (vì HE ⊥ AB).
- HF là đường vuông góc với AC (vì HF ⊥ AC).

3. **Xét góc**:
- (i) Tại điểm H, góc AHF bằng 90 độ vì HF ⊥ AC.
- (ii) Tại điểm H, góc AHE bằng 90 độ vì HE ⊥ AB.
- (iii) Do tam giác ABC vuông tại A, ta cũng có góc A = 90 độ.

4. **Kết luận về hình AFHF**:
- Ta đã chứng minh rằng AF ⊥ HF và AE ⊥ HE, đồng thời AF và HE cũng cùng song song với hai cạnh giao nhau tại H.
- Do đó, AFHF là một hình chữ nhật, với bốn góc vuông tại A, E, F, và H.

### b) Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng

1. **Cho hai điểm I và K**: Điểm I trên tia đối của EH sao cho IE = EH. Điều này có nghĩa là I nằm ở phía bên kia của H so với E.

2. **Điểm K**: K nằm trên tia đối của FH sao cho KF = FH. Điều này có nghĩa là K cũng nằm ở phía bên kia của H so với F.

3. **Xét độ dài**:
- Ta biết rằng IE = EH và KF = FH. Do đó, ta có:
- AH = AH (đường cao).
- IE = IE và KF = KF.

4. **Tính chất thẳng hàng**:
- Theo định nghĩa, nếu I nằm trên đường kéo dài EH và K nằm trên đường kéo dài FH, thì một khi có một đường thẳng đi qua H và nối tiếp hai điểm I và K thì ba điểm A, I, K phải thẳng hàng, nghĩa là I nằm theo chiều ngược lại với A qua H và K cũng vậy.

5. **Kết luận**: Do đó, ba điểm A, I, K thẳng hàng.

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành xong bốn bước chứng minh:
- AFHF là hình chữ nhật.
- Ba điểm A, I và K thẳng hàng.