Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = |2x - 2| + |2x - 2013| \), chúng ta có thể phân tích các điểm cực trị của biểu thức này.

1. **Tìm vị trí của các điểm "chuyển"**:
- Biểu thức có các điểm chuyển là \( 2x - 2 = 0 \) và \( 2x - 2013 = 0 \).
- Từ \( 2x - 2 = 0 \), ta có \( x = 1 \).
- Từ \( 2x - 2013 = 0 \), ta có \( x = 1006.5 \).

2. **Xét các khoảng**:
- Xét ba khoảng: \( (-\infty, 1) \), \( [1, 1006.5) \), và \( [1006.5, +\infty) \).
- Trong mỗi khoảng, chúng ta sẽ thay đổi dấu của các phần tử trong biểu thức.

3. **Tính giá trị tại các điểm cực trị**:
- **Tại \( x = 1 \)**:
\[
A(1) = |2 \cdot 1 - 2| + |2 \cdot 1 - 2013| = |0| + |2 - 2013| = 0 + 2011 = 2011.
\]

- **Tại \( x = 1006 \)** (giá trị nguyên gần nhất bên dưới 1006.5):
\[
A(1006) = |2 \cdot 1006 - 2| + |2 \cdot 1006 - 2013| = |2010| + |1000| = 2010 + 1000 = 3010.
\]

- **Tại \( x = 1007 \)** (giá trị nguyên gần nhất bên trên 1006.5):
\[
A(1007) = |2 \cdot 1007 - 2| + |2 \cdot 1007 - 2013| = |2012| + |1001| = 2012 + 1001 = 3013.
\]

4. **Kết luận**:
Từ các giá trị trên, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) khi \( x \) là số nguyên là \( \boxed{2011} \), tại \( x = 1 \).