Để tìm giá trị của \( x \) sao cho \( A = \frac{x + 4}{x - 1} \) là một số nguyên, chúng ta có thể thực hiện các bước như sau:

Đầu tiên, đặt \( A = \frac{x + 4}{x - 1} \).

Chúng ta có thể biến đổi phương trình này thành:

\[
A(x - 1) = x + 4
\]

Sắp xếp lại, ta được:

\[
Ax - A = x + 4
\]

Bây giờ, chuyển tất cả các hạng tử liên quan đến \( x \) sang một bên:

\[
Ax - x = A + 4
\]

Factoring ra \( x \):

\[
x(A - 1) = A + 4
\]

Từ đó, chúng ta có thể tìm được \( x \):

\[
x = \frac{A + 4}{A - 1}
\]

Để \( x \) là một số nguyên, tử số \( A + 4 \) phải chia hết cho mẫu số \( A - 1 \). Điều này có nghĩa là \( A - 1 \) phải là một ước của \( A + 4 \).

Giờ chúng ta sẽ tìm các giá trị của \( A \):

\[
\frac{A + 4}{A - 1} = k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Khi giải phương trình này cho các giá trị nguyên của \( k \), chúng ta có thể kiểm tra một số giá trị cho \( A \) và xem khi nào \( A - 1 \) chia hết cho \( A + 4 \).

Thực hiện phân tích số nguyên cho các giá trị có thể của \( A \):

1. Nếu \( A = 0 \):
\[
x = \frac{0 + 4}{0 - 1} = -4
\]

2. Nếu \( A = 1 \): Không xác định (vì mẫu bằng 0).

3. Nếu \( A = 2 \):
\[
x = \frac{2 + 4}{2 - 1} = 6
\]

4. Nếu \( A = 3 \):
\[
x = \frac{3 + 4}{3 - 1} = \frac{7}{2} \quad (\text{không phải là số nguyên})
\]

5. Nếu \( A = 5 \):
\[
x = \frac{5 + 4}{5 - 1} = \frac{9}{4} \quad (\text{không phải là số nguyên})
\]

6. Nếu \( A = 6 \):
\[
x = \frac{6 + 4}{6 - 1} = 2
\]

7. Nếu \( A = 7 \):
\[
x = \frac{7 + 4}{7 - 1} = \frac{11}{6} \quad (\text{không phải là số nguyên})
\]

Tóm lại, các giá trị của \( A \) mà cho phép \( x \) là các số nguyên là \( A = 0, 2, 6 \) dẫn đến \( x \) là \( -4, 6, 2 \), tương ứng.

Do đó, các giá trị của \( x \) mà khiến \( A \) là một số nguyên là \( x = -4, 6, 2 \).