Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần áp dụng định lý liên quan đến tam giác vuông và đường cao.

1. **Thông tin dữ liệu:**
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- Độ dài cạnh \( AB = 8 \) cm.
- Độ dài đường cao \( AN = 4 \) cm.

2. **Tính độ dài cạnh \( AC \) (cạnh vuông góc còn lại):**
Sử dụng công thức liên hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông và đường cao:
\[
AN^2 = AB \times AC
\]
Thay số vào:
\[
4^2 = 8 \times AC
\]
\[
16 = 8 \times AC
\]
\[
AC = \frac{16}{8} = 2 \text{ cm}
\]

3. **Tính độ dài cạnh huyền \( BC \):**
Áp dụng định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay số vào:
\[
BC^2 = 8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68
\]
\[
BC = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \text{ cm} \approx 8.25 \text{ cm}
\]

**Kết quả cuối cùng:**
- Độ dài cạnh \( AC = 2 \) cm.
- Độ dài cạnh huyền \( BC \approx 8.25 \) cm.