Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

### a) Tính số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn

1. **Xác định độ dài dây AB**:
- Theo đề bài, ta có dây AB = R (bán kính của đường tròn).

2. **Tính số đo cung AB nhỏ**:
- Số đo cung AB nhỏ trong trường hợp này được tính bằng công thức:
\[
\theta = 2 \arccos\left(\frac{d}{2R}\right)
\]
với \(d\) là độ dài dây AB. Thay số vào:
\[
\theta = 2 \arccos\left(\frac{R}{2R}\right) = 2 \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \text{ rad}
\]
- Số đo cung AB nhỏ là: \( \frac{2\pi}{3} \) rad.

3. **Tính số đo cung AB lớn**:
- Số đo cung AB lớn là phần còn lại của đường tròn. Tổng số đo các cung trong đường tròn là \(2\pi\). Nên cung AB lớn sẽ là:
\[
\text{số đo cung AB lớn} = 2\pi - \text{số đo cung AB nhỏ} = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \text{ rad}
\]

### b) Tính góc ACB

Góc \(ACB\) nằm trong tam giác \(ACB\) với \(C\) thuộc cung lớn giữa hai điểm \(A\) và \(B\).

- Theo định lý về góc nội tiếp, ta có:
\[
\angle ACB = \frac{1}{2} \text{ số đo cung AB lớn}
\]

Thay số đo cung AB lớn vào công thức:
\[
\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \text{ rad}
\]

### Kết luận:
- Số đo cung AB nhỏ là \( \frac{2\pi}{3} \) rad.
- Số đo cung AB lớn là \( \frac{4\pi}{3} \) rad.
- Góc \(ACB\) là \( \frac{2\pi}{3} \) rad.