Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

### a) Tính số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn

1. **Xác định độ dài dây AB**:
- Theo đề bài, ta có dây AB = R (bán kính của đường tròn).

2. **Tính số đo cung AB nhỏ**:
- Số đo cung AB nhỏ trong trường hợp này được tính bằng công thức:
$$\theta = 2 \arccos\left(\frac{d}{2R}\right)$$
với $d$ là độ dài dây AB. Thay số vào:
$$\theta = 2 \arccos\left(\frac{R}{2R}\right) = 2 \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \text{ rad}$$
- Số đo cung AB nhỏ là: $\frac{2\pi}{3}$ rad.

3. **Tính số đo cung AB lớn**:
- Số đo cung AB lớn là phần còn lại của đường tròn. Tổng số đo các cung trong đường tròn là $2\pi$. Nên cung AB lớn sẽ là:
$$\text{số đo cung AB lớn} = 2\pi - \text{số đo cung AB nhỏ} = 2\pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \text{ rad}$$

### b) Tính góc ACB

Góc $ACB$ nằm trong tam giác $ACB$ với $C$ thuộc cung lớn giữa hai điểm $A$ và $B$.

- Theo định lý về góc nội tiếp, ta có:
$$\angle ACB = \frac{1}{2} \text{ số đo cung AB lớn}$$

Thay số đo cung AB lớn vào công thức:
$$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \text{ rad}$$

### Kết luận:
- Số đo cung AB nhỏ là $\frac{2\pi}{3}$ rad.
- Số đo cung AB lớn là $\frac{4\pi}{3}$ rad.
- Góc $ACB$ là $\frac{2\pi}{3}$ rad.