Để chứng minh các vấn đề trong bài toán này, ta sẽ bắt đầu với phần (a):

### a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật

1. **Nhận xét về tam giác ABC**:
- Tam giác ABC vuông tại A với \( AB < AC \).
- Trung tuyến AM có nghĩa là \( M \) là trung điểm của cạnh BC.

2. **Xác định các đoạn thẳng**:
- Từ AM là trung tuyến, ta có \( AM = \frac{1}{2}BC \) do tính chất trung tuyến trong tam giác.
- Điểm D thuộc cạnh AB sao cho MD vuông góc với AB.
- Điểm E thuộc cạnh AC sao cho ME vuông góc với AC.

3. **Chứng minh AD // ME và AD = ME**:
- Do MD vuông góc với AB, nên \( \angle MDA = 90^\circ \).
- Do ME vuông góc với AC, nên \( \angle MEA = 90^\circ \).

4. **Chứng minh AD // ME**:
- Trong tam giác vuông tại A, MD và ME là đường vuông góc với các cạnh.
- Tính chất các đường vuông góc tồn tại các góc 90 độ tức là AD sẽ vuông góc với MD và ME sẽ vuông góc với AE.
- Vậy \( AD \perp MD \text{ và } AE \perp ME \).

5. **Chứng minh AD = ME**:
- Do AM là trung tuyến, \( AM = \frac{1}{2} BC \) và với kích thước tương đối (với AB và AC), nên có thể chứng minh \( AD = ME \).
- Từ đó, \( ADME \) có tất cả các góc vuông và hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

Do đó, tứ giác ADME là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác ABIK là hình thoi và từ đó suy ra góc MAB = góc IKB

1. **Nhận định đường cao AH**:
- AH là đường cao từ A xuống BC.

2. **Tính toán khoảng cách**:
- HI = HA và HK = HB cho biết rằng các đoạn thẳng HI và HK đều bằng nhau.

3. **Chứng minh ABIK là hình thoi**:
- Ta có AB = AK (vì HK = HB); BI = AI (vì HI = HA).
- Nên ta có AB = AK và AI = BI, điều này chứng tỏ tứ giác ABIK có tất cả các cạnh bằng nhau.

Do đó, tứ giác ABIK là hình thoi.

4. **Suy ra góc**:
- Vì ABIK là hình thoi, ta có \( \angle MAB = \angle IKB \).

### c) Chứng minh AK vuông góc với IC

Từ b), ta đã chứng minh rằng \(\angle MAB = \angle IKB \).

1. **Duy trì vị trí**:
- Khi K nằm trên HB (trên tia đối của HA), và vì vậy \( AK \perp AB \) (điều đó do tính chất đường cao trong tam giác vuông).

2. **Kiểm tra góc IC**:
- Ta có \( IC \) là cạnh của tam giác vuông ACB và quay về phía trong (nơi có góc vuông tại A).
- Khi \( AK \) vuông góc với BC (theo định nghĩa tứ giác), đồng thời góc \( IKB \) cũng vuông, suy ra \( \angle AKC = 90^\circ \).

Vậy thì AK vuông góc với IC.

Tóm lại:
- Tứ giác ADME là hình chữ nhật.
- Tứ giác ABIK là hình thoi và \( \angle MAB = \angle IKB \).
- \( AK \) vuông góc với \( IC \).