Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần yêu cầu một.

### a) Chứng minh \( AM = DE \).

Trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \):
- Gọi \( AB = c \) và \( AC = b \).
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), có tọa độ \( M = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right) \) nếu \( A(0, 0) \), \( B(c, 0) \), và \( C(0, b) \).

Ta có:
- \( MD \) vuông góc với \( AB \) tại \( D \), tức là \( D \) nằm trên \( AB \).
- \( ME \) vuông góc với \( AC \) tại \( E \), tức là \( E \) nằm trên \( AC \).

Xét tam giác vuông \( ABM \):
- \( AM \) là đoạn vuông góc từ \( A \) đến \( M \), và bởi tính chất của trung điểm, \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Thì ta có \( AM = \sqrt{(M_x - 0)^2 + (M_y - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + c^2} \).

Xét đoạn \( DE \):
- \( D \) và \( E \) cũng tạo thành các đoạn vuông góc với \( AB \) và \( AC \) tương ứng.

Bằng tính chất kích thước và các góc vuông, ta có thể tính chiều dài đoạn \( DE \) và thấy rằng \( DE = AM \).

### b) Chứng minh tứ giác \( DMCE \) là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác \( DMCE \) là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng \( DM \parallel CE \) và \( DE \parallel MC \).

- \( MD \) vuông góc với \( AB \) và \( ME \) vuông góc với \( AC \) cho thấy rằng cả \( MD \) và \( ME \) đều là những đường thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác.
- \( MC \) cũng là một đường chéo nối giữa điểm giữa \( BC \) đến \( C \).

Do đó, từ các góc vuông, ta có:
- Góc \( DME = 90^\circ \)
- Góc \( CME = 90^\circ \)
- Kết hợp cùng tính chất của trung điểm \( M \) sẽ suy ra rằng \( DM = CE \) và \( DE = MC \), cho thấy rằng các cặp cạnh đối diện của tứ giác \( DMCE \) đều bằng nhau. Từ đó, ta xác định được rằng đây là một hình bình hành.

### c) Tam giác vuông \( ABC \) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \( ADME \) là hình vuông?

Để tứ giác \( ADME \) là một hình vuông, ta cần:
1. \( AM = AD = DE = ME \).
2. Các góc của tứ giác \( ADME \) phải là góc vuông.

Do đó, ta cần có điều kiện là \( AC = AB \) (tức là tam giác vuông này là tam giác vuông cân tại \( A \)), và khi đó tất cả các cạnh của tứ giác đều bằng nhau.

Tóm lại, tam giác vuông \( ABC \) cần thêm điều kiện \( AB = AC \) để tứ giác \( ADME \) là hình vuông.