Để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của biểu thức \( E = x^3 + y^3 + xy \) với ràng buộc \( x + y = 1 \), ta có thể sử dụng phương pháp thế biến.

Từ ràng buộc \( x + y = 1 \), ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):
\[
y = 1 - x
\]
Thay vào biểu thức \( E \):
\[
E = x^3 + (1 - x)^3 + x(1 - x)
\]

Bây giờ ta tính \( (1 - x)^3 \):
\[
(1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3
\]
Khi thay vào \( E \):
\[
E = x^3 + (1 - 3x + 3x^2 - x^3) + x(1 - x)
\]
\[
= 1 - 3x + 3x^2 + x - x^2
\]
\[
= 1 - 2x + 2x^2
\]
Do đó \( E \) trở thành:
\[
E = 2x^2 - 2x + 1
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm bậc hai này, ta có thể tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0.
\[
\frac{dE}{dx} = 4x - 2
\]
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm cực trị:
\[
4x - 2 = 0 \implies x = \frac{1}{2}
\]
Khi \( x = \frac{1}{2} \), từ ràng buộc \( y = 1 - x = \frac{1}{2} \).

Ta tính giá trị của \( E \) tại \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = \frac{1}{2} \):
\[
E\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)
\]
\[
= \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
\]

Sau đó, ta kiểm tra giá trị của \( E \) tại các điểm biên của miền xác định. Các giá trị biên là khi \( x = 0, y = 1 \) và \( x = 1, y = 0 \):
- Khi \( x = 0 \), \( y = 1 \):
\[
E(0, 1) = 0^3 + 1^3 + 0 \cdot 1 = 0 + 1 + 0 = 1
\]
- Khi \( x = 1 \), \( y = 0 \):
\[
E(1, 0) = 1^3 + 0^3 + 1 \cdot 0 = 1 + 0 + 0 = 1
\]

Tổng hợp lại, các giá trị mà ta đã tìm được là:
- \( E\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \)
- \( E(0, 1) = 1 \)
- \( E(1, 0) = 1 \)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( E \) là \( \frac{1}{2} \) và giá trị lớn nhất là \( 1 \).

**Kết luận:**
- Giá trị nhỏ nhất của \( E \) là \( \frac{1}{2} \).
- Giá trị lớn nhất của \( E \) là \( 1 \).