Để tính giá trị của biểu thức \( B = \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \frac{2}{7 \cdot 9} + \ldots + \frac{2}{19 \cdot 21} \), ta có thể rút gọn từng phần tử trong tổng.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng mỗi phần tử của tổng có dạng:

\[
\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}
\]

với \( n = 1, 2, 3, \ldots, 10 \) (vì \( 2n-1 \) chạy từ 1 đến 19). Tiến hành rút gọn biểu thức trên. Sử dụng công thức phân tích thành từng phần, ta có:

\[
\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}
\]

Vậy ta có thể viết lại \( B \) như sau:

\[
B = \sum_{n=1}^{10} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)
\]

Kết cấu của tổng này là một chuỗi Telescoping (chuỗi rút gọn). Khi thay các giá trị từ \( n = 1 \) đến \( n = 10 \), ta có:

\[
B = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{19} - \frac{1}{21} \right)
\]

Trong đó, các phần tử sẽ tự triệt tiêu với nhau. Tất cả những phần tử giữa sẽ bị triệt tiêu, do đó:

\[
B = 1 - \frac{1}{21}
\]

Giờ thực hiện phép tính:

\[
B = 1 - \frac{1}{21} = \frac{21}{21} - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}
\]

Vậy giá trị của \( B \) là:

\[
\boxed{\frac{20}{21}}
\]