Để tìm số nguyên \(a\) và \(b\) thỏa mãn các phương trình đã cho, chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

### Phương trình 1: \( a, (2a - 1) \cdot (b^2 + 1) = -17 \)

Ta có hai trường hợp có thể xảy ra:
1. \(a = -17\) và \(2a - 1 \cdot (b^2 + 1) = 1\)
2. \(a \cdot (2a - 1) = -17\) và \(b^2 + 1 \) bằng một hằng số nào đó, nhưng có thể sẽ phức tạp.

**Trường hợp 1:** \(a = -17\) và chúng ta sẽ xem xét b.

Thay \(a\) vào \(2a - 1\):
\[
2(-17) - 1 = -34 - 1 = -35
\]
Như vậy,
\[
(-35)(b^2 + 1) = -17 \implies b^2 + 1 = \frac{-17}{-35} = \frac{17}{35}
\]
Điều này không đúng vì \(b^2 + 1\) không thể nhỏ hơn 1, mà \(b\) là số nguyên.

**Trường hợp 2:** Ta sẽ tiếp tục với phương trình thứ hai để tìm thêm thông tin.

### Phương trình 2: \((3 - a)(5 - b) = 2\)

Mở phương trình ra:
\[
15 - 3b - 5a + ab = 2 \implies ab - 3b - 5a = -13 \implies ab - 3b - 5a + 13 = 0
\]

### Phương trình 3: \(ab = 18\) và \(a + b = 11\)

Chúng ta có thể dùng phương trình này để giải các giá trị của \(a\) và \(b\). Từ \(a + b = 11\), viết lại \(b\):
\[
b = 11 - a
\]
Thay vào phương trình \(ab = 18\):
\[
a(11 - a) = 18 \implies 11a - a^2 = 18 \implies a^2 - 11a + 18 = 0
\]
Giải phương trình bậc 2 này:
\[
\Delta = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49
\]
Có hai nghiệm:
\[
a = \frac{11 \pm 7}{2} \implies a_1 = 9, a_2 = 2
\]

Vậy chúng ta có hai cặp \((a,b)\):
- Nếu \(a = 9\), thì \(b = 11 - 9 = 2\)
- Nếu \(a = 2\), thì \(b = 11 - 2 = 9\)

### Kiểm tra lại với phương trình 2:

1. Với \(a = 9\) và \(b = 2\):
\[
(3 - 9)(5 - 2) = (-6)(3) = -18 \quad \text{(sai)}
\]

2. Với \(a = 2\) và \(b = 9\):
\[
(3 - 2)(5 - 9) = (1)(-4) = -4 \quad \text{(sai)}
\]

Tuy nhiên, giải pháp của \(ab = 18\) và \(a + b = 11\) sẽ dẫn chúng ta đến cặp giá trị và sau đó phải kiểm tra xem liệu có trong hàng rào \(a, b\) cho phương trình ban đầu giúp chúng ta.

Cuối cùng:
\[
(a, b) = (9, 2) \text{ hoặc } (2, 9)
\]
Là cặp nghiệm cho hệ số đại số đưa đến phương trình mà bạn đã đưa.

Tuy nhiên, hai phương trình đầu tiên bạn cung cấp không rõ ràng, bạn có thể kiểm tra và thay các giá trị không cho kết quả thỏa mãn toàn bộ bài toán. Bạn nên tập trung vào nghiệm của từng phương trình trước và xử lý trong một nhóm.