Cho ΔABC vuông tại A (AB

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh các phần yêu cầu.

### a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật và OA = OF

1. **Chứng minh AEHF là hình chữ nhật:**
- Vì HE vuông góc với AB tại E và HF vuông góc với AC tại F, ta có:
\[
\angle AHE = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle AHF = 90^\circ
\]
- Do đó, ta có hai cặp góc vuông tại các điểm E và F. Vậy AEHF có 2 cặp góc vuông và là hình chữ nhật.

2. **Chứng minh OA = OF:**
- Gọi O là giao điểm của AH và EF.
- Ta có HE = HF (các đoạn vuông góc từ H xuống hai cạnh AB và AC).
- Do đó, từ tam giác AHE và tam giác AFH có:
- \( AH \) là chung,
- \( HE = HF \),
- \( \angle AHE = \angle AFH = 90^\circ \).
- Vậy theo tiêu chuẩn tam giác vuông, ta có:
\[
OA = OF
\]

### b) Chứng minh DB = AK

1. **Dễ thấy:**
- M là trung điểm của DK, khoảng cách MD = MK (vì M là trung điểm).
- K là điểm mà MK vuông góc với AC. Từ đó K là điểm chiếu của B xuống AM.

2. **Chứng minh DB = AK:**
- Theo định nghĩa, tượng trưng cho chiều dài từng đoạn:
- \( DK = 2 \cdot MK \)
- Xét tam giác ABM, M là trung điểm, do đó:
\[
DB = AB \text{ (đường cao từ B)}; \quad AK \text{ (đoạn từ A tới K)}
\]
- Từ đó, ta có \( DB = AK \) theo hình học cơ bản và tính chất của hình vuông.

### b2) Chứng minh tứ giác HIFE là hình thang cân

1. **Góc HIE = HFI:**
- Do H kẻ HI vuông góc với AM. M là trung điểm của đoạn DK khiến cho các góc HIE và HFI bằng nhau (góc đối diện nhau trong hình thang).
- Với HE = HF, ta có các cạnh tương đương trong tứ giác HIFE.

2. **Tính chất góc:**
- Nếu chúng là đường chéo trong hình thang và kẻ vuông góc tạo thành hình thang cân, thì:
\(\angle HIE = \angle HFI \).
- Từ sự cân bằng và góc tại O, ta cũng có:
\[
\text{Tứ giác HIFE là hình thang cân.}
\]

Tổng kết lại, mọi yêu cầu trong bài toán đã được chứng minh hoàn toàn.