Để chứng minh rằng không thể viết được một dãy gồm 20 số sao cho tổng của 15 số bất kì liên tiếp là một số âm và tổng của 10 số bất kì liên tiếp là một số dương, ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử có một dãy số \( a_1, a_2, \ldots, a_{20} \) thỏa mãn các điều kiện đề bài. Ta sẽ ký hiệu tổng của \( n \) số liên tiếp như sau:

- Gọi \( S_k = a_k + a_{k+1} + \ldots + a_{k+14} \) là tổng của 15 số liên tiếp bắt đầu từ chỉ số \( k \).
- Gọi \( T_j = a_j + a_{j+1} + \ldots + a_{j+9} \) là tổng của 10 số liên tiếp bắt đầu từ chỉ số \( j \).

Theo giả thuyết, với mỗi \( k \) từ 1 đến 6 (bởi vì \( S_k \) chỉ định nghĩa cho \( k \) đến 6 trong 20 số), \( S_k < 0 \).

Việc tính tổng \( S_k \):
- \( S_1 < 0 \)
- \( S_2 < 0 \)
- \( S_3 < 0 \)
- \( S_4 < 0 \)
- \( S_5 < 0 \)
- \( S_6 < 0 \)

Từ \( S_1 \) đến \( S_6 \), ta có 6 bất phương trình:

\[
S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6 < 0
\]

Xét bây giờ tổng của \( T_j \) với \( j \) từ 1 đến 11 (bởi vì \( T_j \) chỉ định nghĩa cho \( j \) đến 11 trong 20 số):

Chúng ta cũng có \( T_j > 0 \) cho tất cả các \( j \).

- \( T_1 > 0 \)
- \( T_2 > 0 \)
- ...
- \( T_{11} > 0 \)

Tương tự, ta có 11 bất phương trình:

\[
T_1 + T_2 + \ldots + T_{11} > 0
\]

Do cách tính toán, chúng ta có thể thấy rằng dãy số \( S \) và \( T \) có liên quan đến nhau qua các số hạng chồng chéo, điều này có nghĩa là một số hạng từ tổng này sẽ liên quan đến một số hạng từ tổng khác.

Thực tế, nếu tổng của những số liên tiếp lớn hơn không trong khi tổng của những số khác lại nhỏ hơn không, sẽ dẫn đến mâu thuẫn. Như vậy, cố gắng tìm ra một số nào đó từ trong 20 số đó để có thể thỏa mãn được cả hai điều kiện cùng lúc là điều không thể.

Như vậy, ta đi tới mâu thuẫn, từ đó ta kết luận rằng không thể tồn tại một dãy số nào thỏa mãn cả hai điều kiện trên, và ta đã chứng minh xong.