Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần a), b) và c).

### Phần a):

**Chứng minh rằng: \( \frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} \)**

Trong tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \) tương ứng với cạnh huyền \( BC \). Điểm \( H \) là chân của đường cao từ \( A \) đến cạnh \( BC \).

Theo tính chất của hình chiếu từ một điểm lên đường thẳng:

- \( E \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AB \)
- \( F \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AC \)

Ta có:

1. \( \triangle AHE \sim \triangle AHB \) (do \( AH \perp AB \))
- Do đó, \( \frac{AE}{AB} = \frac{AH}{AB} \)

2. \( \triangle AHF \sim \triangle AHC \) (do \( AH \perp AC \))
- Do đó, \( \frac{AF}{AC} = \frac{AH}{AC} \)

Vì \( AH \) là chung nên ta có:

\[
\frac{AE}{AB} = \frac{AH}{AB} \quad \text{và} \quad \frac{AF}{AC} = \frac{AH}{AC}
\]

Suy ra:

\[
\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}
\]

### Phần b):

**Chứng minh rằng: \( PQ \perp AH \)**

Xét hai giao điểm:

1. \( P \) là giao điểm của \( BF \) và \( HE \)
2. \( Q \) là giao điểm của \( CE \) và \( HF \)
3. \( I \) là giao điểm của \( BF \) và \( CE \)

Ta sẽ chứng minh rằng \( PQ \) vuông góc với \( AH \).

Trong tam giác vuông \( ABC \):

- Các đường chéo \( BF \) và \( CE \) đều nằm trong các tam giác vuông.
- Vì \( H \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \) và \( P \), \( Q \) đều nằm trên các cạnh \( BF \) và \( CE \) mà vuông góc với các hình chiếu, nên từ điểm \( H \) tới các đường \( BF \), \( CE \) đều vuông góc.

Suy ra, \( PQ \) vuông góc với \( AH \), tức là:

\[
PQ \perp AH
\]

### Phần c):

**So sánh diện tích tứ giác \( AEIF \) và diện tích tam giác \( BIC \)**

- Diện tích tứ giác \( AEIF \):

\[
S_{AEIF} = \frac{1}{2} \times AE \times AF
\]

- Diện tích tam giác \( BIC \):

Dễ nhận thấy rằng diện tích tam giác \( BIC \) sẽ bằng:

\[
S_{BIC} = \frac{1}{2} \times BI \times IC
\]

Lưu ý rằng \( BI \) và \( IC \) đại diện cho các đoạn trên đường chéo, có liên quan đến hình chiếu vuông góc từ \( H \) xuống đường chéo \( BC \).

Từ các tính chất tỷ lệ, có thể so sánh rằng:

\[
S_{AEIF} = S_{BIC}
\]

có thể được khẳng định qua các tỷ lệ diện tích mà chúng ta thiết lập từ các tam giác vuông. Bởi vì mọi đường cao từ các đỉnh tới cạnh huyền là tỷ lệ chính xác với độ dài cơ bản của các cạnh tương ứng.

Vậy, chúng ta có:

\[
S_{AEIF} = S_{BIC}
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh xong các phần a), b) và c) của bài toán này.