Để giải bài toán này, ta đặt:

- Thời gian đội I làm riêng là \( x \) ngày.
- Thời gian đội II làm riêng là \( x + 6 \) ngày (vì đội I nhanh hơn đội II 6 ngày).

Làm theo công thức:
- Công suất của đội I là \( \frac{1}{x} \) (phần công việc hoàn thành trong một ngày).
- Công suất của đội II là \( \frac{1}{x + 6} \).

Khi cả hai đội làm chung, tổng công suất là:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6}
\]

Theo đề bài, họ hoàn thành công việc trong 4 ngày, tức là:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{1}{4}
\]

Giải phương trình trên:
\[
\frac{(x + 6) + x}{x(x + 6)} = \frac{1}{4}
\]
\[
\frac{2x + 6}{x^2 + 6x} = \frac{1}{4}
\]

Nhân chéo:
\[
4(2x + 6) = x^2 + 6x
\]
\[
8x + 24 = x^2 + 6x
\]
\[
x^2 - 2x - 24 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} = \frac{2 \pm 10}{2}
\]
\[
x_1 = 6, \quad x_2 = -4 \; (không hợp lệ)
\]

Vậy, đội I phải làm trong 6 ngày, và đội II sẽ là:
\[
x + 6 = 12 \, \text{ngày}
\]

**Kết luận:**
- Đội I làm trong 6 ngày.
- Đội II làm trong 12 ngày.