Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xem xét từng phần yêu cầu và trình bày các bước chứng minh.

### a) Chứng minh rằng: \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \)

1. **Gọi các điểm:** Đặt \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Gọi \( E \) và \( F \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AB \) và \( AC \) lần lượt.
2. **Sử dụng định lý lượng giác (Hằng số sin):** Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \) có chung cạnh \( AH \).
- \( AE \) là chiều cao từ \( H \) đến \( AB \), vậy \( AE = AH \cdot \sin(\angle AHB) \).
- Tương tự, \( AF = AH \cdot \sin(\angle AHC) \).
3. **Áp dụng định lý Pytago:** Trong tam giác vuông \( AHB \) và \( AHC \), sử dụng tính chất và tỉ lệ giữa các cạnh và đường cao.
4. **Kết luận:** Từ đó, ta có thể suy ra rằng \( AE \cdot AB = AF \cdot AC \).

### b) Gọi \( P \), \( Q \), \( I \)

1. **Định nghĩa các điểm:**
- Gọi \( P \) là giao của \( BF \) và \( HE \)
- \( Q \) là giao của \( CE \) và \( HF \)
- \( I \) là giao của \( BF \) và \( CE \)
2. **Chứng minh rằng \( PQ \perp AH \):**
- Sử dụng tính chất của hình chiếu vuông góc, ta nhận thấy rằng \( P \) và \( Q \) đều nằm trên các đường thẳng vuông góc với \( AH \), do đó \( PQ \) sẽ vuông góc với \( AH \).

### c) So sánh diện tích tứ giác \( AEIF \) và diện tích tam giác \( BIC \)

1. **Tính diện tích:**
- Diện tích tứ giác \( AEIF \) có thể được tính bằng cách chia thành hai tam giác: \( AEF \) và \( AIE \) và sử dụng công thức diện tích.
- Diện tích tam giác \( BIC \) cũng có thể tính tương tự.
2. **So sánh:** Sử dụng tỉ lệ chiều cao và cạnh để so sánh diện tích hai hình này.

### Kết luận:

Qua việc ứng dụng các định lý về tam giác vuông, các hình chiếu và tính chất diện tích, chúng ta có thể chứng minh được cả ba phần trong bài toán.