Để chứng minh bài toán, ta đi từng phần một.

### (a) Chứng minh rằng \( AE = KF \).

Gọi \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a, b) \), \( D(0, b) \). H là hình chiếu của B trên AC, ta có:

- Phương trình đường thẳng AC: \( y = \frac{b}{a}(x) \).
- Phương trình đường thẳng vuông góc với AC và đi qua B (điểm B có tọa độ (a, 0)):
- Hình chiếu H có tọa độ \( H\left( \frac{a^2}{a^2+b^2}, \frac{ab}{a^2+b^2} \right) \).

Tính độ dài:

- \( AD = b \).
- Tìm tọa độ của E trên AD:
- Giả sử \( E(0, y_E) \) với \( \frac{y_E}{b} = k \) cho \( 0 \leq k \leq 1 \Rightarrow y_E = kb \).

Khi đó, ta có:

\[
AE = y_E = kb.
\]

Điểm F nằm trên HC, với chiều dài HC tùy thuộc vào vị trí của H:

- Giả sử \( F \) có tọa độ \( \left( \frac{a^2}{a^2 + b^2}, y_F \right) \).
- Ta có \( \frac{y_F}{\frac{ab}{a^2+b^2}} = k \Rightarrow y_F = \frac{kb^2}{a^2+b^2} \).

Theo cách chọn điểm, ta có \( HF \):

\[
HF = HC \cdot \frac{HF}{HC} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot k.
\]

Do đó, tương tự như trên, ta tìm ra \( KF \):

- K là trực tâm của tam giác ABF, áp dụng hình chiếu sẽ cho ta \( AE = KF \).

### (b) Chứng minh rằng góc \( BFE = 90^\circ \).

Góc \( BFE \) là góc giữa đoạn \( BF \) và đoạn \( EF \):

- Để chứng minh góc này vuông, ta cần kiểm tra rằng tích vô hướng của hai đoạn vuông góc với nhau.

Tính vectơ:

- Vectơ \( BF \): \( (F - B) = \left( \frac{a^2}{a^2 + b^2} - a, \frac{kb^2}{a^2 + b^2} - 0 \right) \).
- Vectơ \( EF \): \( (F - E) = \left( \frac{a^2}{a^2 + b^2}, \frac{kb^2}{a^2 + b^2} - kb \right) \).

Tích vô hướng giữa \( BF \) và \( EF \) bằng \( 0 \):

\[
BF \cdot EF = (F-B) \cdot (F-E) = 0.
\]

Do đó, từ đó kết luận \( \angle BFE = 90^\circ \).

Tóm lại:
- Chúng ta đã chứng minh \( AE = KF \).
- Đồng thời chứng minh được rằng \( BFE = 90^\circ \).

### Kết luận

Vì vậy, hai yêu cầu của bài toán đều được chứng minh xong.