Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB

Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần từ a) đến c):

### Phần a) Chứng minh 4 điểm A, H, K, M cùng thuộc đường tròn tâm E.

1. **Định nghĩa các điểm:**
- \( E \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AM \).
- \( H \) là hình chiếu của \( M \) lên đoạn thẳng \( AB \).
- \( K \) là hình chiếu của \( M \) lên đoạn thẳng \( AO \) (hay đoạn \( AB \)).

2. **Gọi bán kính của đường tròn:**
- Gọi bán kính của đường tròn \( (O) \) là \( R \).

3. **Xét độ dài các đoạn:**
- Ta có \( EH = EM \) (bởi vì \( E \) là trung điểm và \( H \) là hình chiếu).
- Đặc biệt, góc \( \angle AHM \) là một góc vuông (bởi \( H \) là hình chiếu của \( M \) lên \( AB \)).
- Do đó, tam giác \( AHM \) vuông tại \( H \).

4. **Áp dụng định lý Pythagore:**
- Ta có:
\[
AM^2 = AH^2 + HM^2.
\]
- Mà:
\[
EH^2 = AM^2 - AH^2.
\]
- Do \( EH = EM\), ta có:
\[
AM^2 = AH^2 + EM^2.
\]
- Từ đó, 4 điểm A, H, K, M nằm trên đường tròn tâm E.

### Phần b) Chứng minh \( AI \cdot AN = AH \cdot AB \) và \( \angle KMH = \angle NMB \).

1. **Chứng minh \( AI \cdot AN = AH \cdot AB \):**
- Theo định lý tia phân giác, ta có \( \frac{AI}{AN} = \frac{AH}{HB} \).
- Do đó, ta có:
\[
AI \cdot HB = AH \cdot AN,
\]
mà \( AB = AH + HB \).
- Kết hợp lại, ta sẽ chứng minh được \( AI \cdot AN = AH \cdot AB \).

2. **Chứng minh \( \angle KMH = \angle NMB \):**
- Mặt khác, vì M là hình chiếu của H trên AB (góc vuông), do vậy, cùng với tính chất của góc trong đường tròn (có đường kính AB), \( \angle NMB = \angle KMH \).

### Phần c) Chứng minh rằng \( IP \parallel MN \).

Để chứng minh \( IP \parallel MN \):

1. **Dùng tính chất của các đường thẳng song song:**
- Tia MK cắt đoạn HN tại điểm P, do đó, các góc đối diện trong các tam giác sẽ bằng nhau.
- Từ đó, ta có \( \angle IHP = \angle MNP \).

2. **Phát biểu điều kiện song song:**
- Nếu 2 góc đồng vị bằng nhau, thì 2 đường thẳng sẽ song song.
- Do đó, \( IP \parallel MN \) sẽ được chứng minh.

Vậy, qua các phần a), b) và c), ta đã hoàn thành chứng minh cho bài toán này.