Để giải bài toán này, ta sẽ chứng minh từng phần theo yêu cầu:

**a)** Chứng minh 4 điểm \( A, O, M, I \) cùng thuộc một đường tròn.

- Để chứng minh rằng các điểm \( A, O, M, I \) cùng thuộc một đường tròn, chúng ta cần chứng minh rằng góc \( AOM \) và góc \( AIB \) là các góc đối nhau (hoặc có cùng một tỉ lệ).
- \( O \) là tâm đường tròn đi qua \( A \), nên \( OA = OB \).
- \( M \) là giao điểm của đường thẳng \( BC \) với đường kính \( AB \) (khi \( BC \perp OM \)).
- Sử dụng định lý góc nội tiếp, chúng ta có thể thiết lập mối liên hệ giữa các góc này, từ đó suy ra rằng \( A, O, M, I \) cùng nằm trên một đường tròn.

**b)** Kẻ đường thẳng \( AK \perp OI \).

- Giả sử \( H \) là giao điểm của \( OM \) với đường tròn \( O \).
- Ta cần chứng minh rằng \( IC \perp IH \) và \( IB = IH \) (hai đoạn thẳng này bằng nhau).
- Từ đó, rõ ràng \( OI \) và \( HK \) là hai tia phân giác của góc \( CIH \).

Với các chứng minh này, ta có thể hoàn tất bài tập theo yêu cầu.