Để chứng minh 4 điểm \( A, M, O, N \) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc tạo bởi các tiếp tuyến và dây cung trong hình tròn.

### Bước 1: Xem xét hình vẽ
Giả sử điểm \( A \) nằm ngoài đường tròn \( (O; R) \) và \( AM \) và \( AN \) là các tiếp tuyến cùng kề với đường tròn tại các điểm \( M, N \).

### Bước 2: Chứng minh góc
Từ \( O \), vẽ đường nối \( OM \) và \( ON \). Gọi \( H \) là điểm cắt của đường thẳng \( AO \) với đoạn thẳng \( MN \).

- Ta có:
\[
\angle OMA = \angle OAN = 90^\circ
\]
vì \( AM \) và \( AN \) là các tiếp tuyến.

### Bước 3: Tính chất của tam giác
Ta sẽ sử dụng định lý của hai góc tạo thành bởi đường kính và đường tròn hoặc phương pháp tỉ số dây cung.

- Từ \( O \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( CD \) tại điểm \( K \), ta có \( OK \perp CD \).

### Bước 4: Đoạn thẳng
Tia \( OK \) cắt đường thẳng \( MN \) tại điểm \( P \).

### Bước 5: Sử dụng định lý
Theo định lý tiếp tuyến và dây cung:
- Ta chứng minh rằng:
\[
OH \cdot OA = R^2
\]
và \( PD \) là tiếp tuyến đường tròn \( (O) \), do đó, góc \( OPD \) cũng tạo với các tam giác khác tỉ lệ đúng.

### Kết luận
Với những chứng minh và tính chất trên, ta có thể kết luận rằng điểm \( A, M, O, N \) cùng nằm trên một đường tròn mà đường kính của chúng là đoạn thẳng hợp với các tính chất đã nêu.

Tóm lại, cách chứng minh có thể tóm tắt lại như sau:
1. Tính chất các tiếp tuyến và góc ở điểm tiếp xúc.
2. Sử dụng định lý liên quan đến dây cung và các góc.
3. Đưa ra các tỉ số và tính chất của tam giác.

Vậy 4 điểm \( A, M, O, N \) cùng thuộc một đường tròn.