a) OH.OA = R²:

• Xét tam giác vuông AMO (∠AMO = 90°), đường cao MH.
• Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: OM² = OH.OA
• Mà OM = R (bán kính đường tròn (O)) nên OH.OA = R².

b) PD là tiếp tuyến đường tròn (O):

Để chứng minh PD là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta cần chứng minh ∠PDO = 90°.

• Ta có OK ⊥ CD tại K (theo đề bài). Suy ra K là trung điểm của CD (tính chất đường kính vuông góc với dây cung).
• Xét ΔOCD cân tại O (OC = OD = R), OK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.
• Vì K là trung điểm của CD và H là giao điểm của AO và MN, theo tính chất đường phân giác trong tam giác (AM = AN, OM = ON nên AO là phân giác ∠MAN và ∠MON, suy ra MN ⊥ AO tại H), ta có OH là đường cao của ΔOMN.
• Xét ΔOMN, ta có OH là đường cao và đường trung tuyến (vì tam giác cân OMN). Suy ra ΔOMN cân tại O.
• Ta có OH.OA = R² (chứng minh trên).
• Xét ΔOHK và ΔOAP, ta có:
  • ∠OHK = ∠OAP = 90°
  • ∠KOH chung

Do đó ΔOHK ~ ΔOAP (g.g). Suy ra OH/OK = OA/OP hay OH.OP = OK.OA

• Ta có OH.OA = R² và OH.OP = OK.OA.
• Xét tam giác vuông OKD, ta có OD² = OK² + KD² = OK² + (CD/2)².
• Xét ΔOPD, ta có theo định lý cosin: PD² = OP² + OD² - 2.OP.OD.cos∠POD.
• Ta cần chứng minh PD² = OD² = R² để suy ra PD là tiếp tuyến.
• Ta có OH.OA = R² và OK ⊥ CD.
• Vì P nằm trên MN và OK cắt MN tại P nên P, H, K thẳng hàng.
• Xét tam giác vuông OHD và tam giác vuông OKP có góc O chung nên chúng đồng dạng
• => OH/OK = OD/OP => OH.OP = OK.OD
• Mà OH.OA = R² => OK.OD = R²
• Xét tam giác OKD có OK.OD = R² = OD² => tam giác OKD vuông tại K.
• Do đó DK ⊥ OK tại K.
• Mà OK ⊥ CD tại K => D, K, P thẳng hàng.
• Xét tam giác OPD có OK.OP = OD² => tam giác OPD vuông tại D => OD ⊥ DP hay PD là tiếp tuyến của (O)

Vậy, PD là tiếp tuyến của đường tròn (O)