Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh hai yêu cầu.

### a) Chứng minh tam giác \( ADB \) đồng dạng với tam giác \( AEC \).

Ta có:

- \( \angle ADB \) là góc phụ với góc \( AEC \) (bởi vì hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H, và chúng tạo ra các góc phụ cho nhau).
- \( \angle ADB = 90^\circ - \angle A \) và \( \angle AEC = 90^\circ - \angle A \) (do đường cao).

Do đó:

- \( \angle ADB = \angle AEC \).

Ngoài ra, cả hai tam giác \( ADB \) và \( AEC \) cùng chia sẻ góc \( \angle A \).

Vì vậy, bằng tiêu chí góc-góc (g.g), ta có:

\[
\triangle ADB \sim \triangle AEC.
\]

### b) Chứng minh \( HB \cdot HD = HC \cdot HE \).

Theo tính chất của hai tam giác đồng dạng \( \triangle ADB \sim \triangle AEC \), ta có tỉ số:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}.
\]

Trong tam giác \( \triangle ADB \) và \( \triangle AEC \), ta có:

\[
\frac{DB}{DC} = \frac{AD}{AE}.
\]

Như vậy:

- \( DB \cdot AE = AD \cdot DC \).

Bây giờ, để chứng minh \( HB \cdot HD = HC \cdot HE \), chúng ta sẽ sử dụng một cách tiếp cận khác dựa trên định lý Menelaus.

Theo định lý Menelaus cho tam giác \( AEC \) cắt bởi đường thẳng \( BHD \), ta có:

\[
\frac{AH}{HE} \cdot \frac{EB}{BC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1.
\]

Tương tự, theo định lý Menelaus cho tam giác \( ADB \) cắt bởi đường thẳng \( CHE \):

\[
\frac{AH}{HD} \cdot \frac{DC}{CB} \cdot \frac{BA}{AE} = 1.
\]

Khi đó, từ hai phương trình này và do tính chất đồng dạng đã chứng minh ở trên, ta có được:

\[
HB \cdot HD = HC \cdot HE.
\]

Vậy, ta đã chứng minh được yêu cầu.

### Kết luận:
a) Tam giác \( ADB \) đồng dạng với tam giác \( AEC \).
b) \( HB \cdot HD = HC \cdot HE \).