Để chứng minh các kết quả trong tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao BD, CE cắt nhau tại H, ta sẽ tiến hành từng phần một.

**a) Chứng minh: tam giác ADB đồng dạng tam giác DAEC.**

Giả sử H là điểm giao nhau của BD và CE, ta có thể xem xét hai tam giác ADB và DAEC.

Theo định nghĩa đường cao, ta có:
- Đường thẳng BD vuông góc với AC.
- Đường thẳng CE vuông góc với AB.

Do đó, ta có:
- \( \angle ADB = \angle DAE = 90^\circ \) (cùng bằng 90 độ)
- \( \angle ABD = \angle AEC \) (do hai đường thẳng cắt nhau tại H, và các góc đối đỉnh)

Vì vậy, theo tiêu chí góc-góc (AA), ta kết luận rằng:
\[
\triangle ADB \sim \triangle DAEC
\]

**b) Chứng minh: HB.HD = HC. HE.**

Từ tính chất của các tam giác đồng dạng trên, ta thấy rằng:
\[
\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \Rightarrow \frac{AB \cdot HE}{AD \cdot HC} = 1 \Rightarrow AB \cdot HE = AD \cdot HC
\]
và
\[
\frac{HR}{HD} = \frac{HC}{HB} \Rightarrow = HB.HD = HC. HE.
\]

**c) Chứng minh rằng: AM = AN.**

Khi M và N được lấy như mô tả trong đề bài:
- Ta có \( \angle AMC = 90^\circ \)
- Ta có \( \angle ANB = 90^\circ \)

Cả hai tam giác AMB và ANB đều có một cạnh chung là AB, và cả hai đều có một gốc vuông tại điểm M và N.

Ta áp dụng định lý Pythagore:
\[
AM^2 + MB^2 = AB^2
\]
\[
AN^2 + NB^2 = AB^2
\]

Do đó ta có hai phương trình:
1. \( AM^2 + MB^2 = AB^2 \) (1)
2. \( AN^2 + NB^2 = AB^2 \) (2)

Tiếp theo, để chứng minh \( AM = AN \), ta suy ra được từ (1) và (2):
\[
AM^2 - AN^2 + (MB^2 - NB^2) = 0
\]

Từ đây suy ra được \( AM^2 = AN^2 \) (vì MB = NB), do đó:
\[
AM = AN
\]

Vậy ta đã chứng minh rằng \( AM = AN \).

Chúc bạn học tốt!