Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học, cụ thể là về tỉ lệ diện tích và góc trong tam giác và tứ giác.

1. **Đặt Định nghĩa và Giả thuyết:**
- Gọi diện tích của tam giác đều \( ABC \) là \( S \).
- Ta có diện tích tứ giác \( ADEB = S_{ADEB} = S_{BPC} \).

2. **Tính tỉ lệ diện tích:**
- Diện tích của tứ giác \( ADEB \) chia cho diện tích của tam giác \( ABC \) sẽ liên quan đến độ dài các đoạn thẳng tạo thành các cạnh.
- Từ điều kiện diện tích \( S_{ADEB} = S_{BPC} \), ta có thể tìm ra tỉ lệ liên quan đến các đoạn \( AD \), \( DE \), \( EB \), \( PC \).

3. **Sử dụng định lý hình học:**
- Nếu \( BD \) và \( CE \) cắt nhau tại \( P \), thì có thể áp dụng định lý tỉ lệ để nhận xét về các góc mà ta cần tính.

4. **Tính góc \( BPE \):**
- Gọi góc \( BPE = \alpha \). Theo các định lý về tam giác và tỉ lệ, có thể sử dụng công thức về góc giữa các đường chéo trong tứ giác để tính góc này.

Cuối cùng, sử dụng các định lí cụ thể để tính toán và suy ra góc \( BPE \) từ các thông số đã cho, hoặc nếu có thể, sử dụng một phương pháp hình học vẽ hình để trực quan hóa và tính toán góc này.

Nếu cần có một ví dụ cụ thể hoặc một tính toán chi tiết hơn, hãy cho tôi biết!