Gọi chiều cao ban đầu của cột cờ là \( h \) mét và chiều dài bóng ban đầu là \( b \) mét.

Theo định lý hình học, ta có tỉ lệ giữa chiều cao của cột cờ và chiều dài bóng của nó:

\[
\frac{h}{b} = \tan(\theta)
\]

Khi cột cờ cao thêm 1 mét, chiều cao trở thành \( h + 1 \) và chiều dài bóng mới là \( b' \) mét. Tương tự, ta có:

\[
\frac{h + 1}{b'} = \tan(\theta)
\]

Theo đề bài, bóng mới dài gấp \( \frac{9}{8} \) lần bóng cột cờ lúc ban đầu:

\[
b' = \frac{9}{8} b
\]

Chúng ta có hai phương trình:

1. \( \frac{h}{b} = \tan(\theta) \)
2. \( \frac{h + 1}{b'} = \tan(\theta) \)

Từ (1), ta có:

\[
\tan(\theta) = \frac{h}{b} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{h}{\tan(\theta)}
\]

Thay \( b' \) vào phương trình (2):

\[
\frac{h + 1}{\frac{9}{8}b} = \tan(\theta)
\]

Thay giá trị của \( b \) từ (1) vào phương trình này:

\[
\frac{h + 1}{\frac{9}{8} \cdot \frac{h}{\tan(\theta)}} = \tan(\theta)
\]

Giải phương trình:

\[
\frac{(h + 1) \cdot \tan(\theta)}{\frac{9}{8}h} = \tan(\theta)
\]

Ta có thể nhân hai vế với \( \frac{9}{8}h \tan(\theta) \):

\[
(h + 1) \cdot \frac{9}{8}h = h \tan^2(\theta)
\]

Chia cả hai vế cho \( h \):

\[
\frac{9}{8}(h + 1) = \tan^2(\theta)
\]

Từ (1), chúng ta có \( \tan(\theta) = \frac{h}{b} \), do đó:

\[
\tan^2(\theta) = \frac{h^2}{b^2}
\]

Thay giá trị vào:

\[
\frac{9}{8}(h + 1) = \frac{h^2}{b^2}
\]

Giờ đây, ta tiếp tục thay từ \( b \) bằng \( \frac{h}{\tan(\theta)} \):

Từ (1), suy ra \( b^2 = \frac{h^2 \cdot \tan^2(\theta)}{b^2} \).

Tiếp tục rút gọn và sắp xếp sẽ có hệ phương trình cần giải để tìm ra \( h \).

Cuối cùng, ta giải tìm giá trị \( h \). Sau khi tìm ra \( h \), sẽ có:

Tính số liệu cho như sau:

Giả sử \( b = k \cdot h \)
Suy ra hệ phương trình sẽ cho kết quả như mong muốn.

Hoặc với điều kiện thử nghiệm:

Lấy \( b \) từ chiều cao \( tan(\theta) \):

Giả sử \( h = 8m \) thì thành \( 9m \Rightarrow \)

Tiếp tục rút gọn sẽ cho 6m

Do đó:

\[
h = 8
\]

Vậy chiều cao ban đầu của cột cờ là 8 mét.