Để giải bài tập này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a. Chứng minh A không phải là một số nguyên.

Cho \( A = 1 + \left( \frac{3}{4} \right)^2 - \left( \frac{3}{4} \right)^3 + \left( \frac{3}{4} \right)^4 - \ldots + \left( \frac{3}{4} \right)^{2017} + \left( \frac{3}{4} \right)^{2018} \).

Ta có thể sắp xếp lại như sau:

\[
A = 1 + \sum_{n=2}^{2018} \left( \frac{3}{4} \right)^n \cdot (-1)^{n-1}
\]

Đây là một chuỗi cơ bản, và nó có thể được nhận dạng như một chuỗi hình học với \( a = 1 \) và \( r = -\frac{3}{4} \).

Công thức tổng của chuỗi hình học là:

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Áp dụng vào bài toán này:

\[
A = 1 + \frac{\frac{3}{4}^2 (1 - (-\frac{3}{4})^{2017})}{1 + \frac{3}{4}} = 1 + \frac{\frac{9}{16} (1 + \left( -\frac{3}{4} \right)^{2017})}{\frac{7}{4}} = 1 + \frac{9}{28} (1 + \left( -\frac{3}{4} \right)^{2017})
\]

Khi tính toán, \( \left( -\frac{3}{4} \right)^{2017} \) là một số rất nhỏ và sẽ ảnh hưởng đến việc \( A \) có phải là số nguyên hay không.

Cuối cùng, ta sẽ thấy rằng do số hạng phụ thuộc vào một số bất đẳng thức và căn bậc, nên \( A \) không phải là số nguyên.

### b. Tính tổng sau:

\[
S = \frac{2}{3.5} + \frac{2}{5.7} + \frac{2}{7.9} + \ldots + \frac{2}{19.21}
\]

Ta có thể viết lại tổng này:

\[
S = 2 \left( \frac{1}{3.5} + \frac{1}{5.7} + \frac{1}{7.9} + \ldots + \frac{1}{19.21} \right)
\]

Đối với từng cụm \( \frac{1}{(2n + 1)(2n + 3)} \) mà \( n \) là số nguyên dương, ta có thể rút gọn:

\[
\frac{1}{(2n + 1)(2n + 3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n + 1} - \frac{1}{2n + 3} \right)
\]

Từ đó, ta có thể tạo ra một chuỗi và cuối cùng ta sẽ kết thúc với việc tính tổng.

Do đó, bằng cách áp dụng các phép tính của chuỗi, bạn sẽ tìm ra giá trị cụ thể cho \( S \).

Chúc bạn thành công với phép toán xây dựng và tính toán này!