Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng phần a), b) và c) như sau:

### a) Chứng minh \( CA = CH \)

Dựa vào định nghĩa của điểm C là giao điểm của tia phân giác \( \angle AMB \) với đoạn thẳng AB, ta có:

- Tia \( AC \) và \( BC \) chia góc \( \angle AMB \) thành hai góc bằng nhau: \( \angle AMC = \angle BMC \).
- Gọi M là điểm nằm trên nửa đường tròn, theo tính chất của phân giác trong tam giác, ta có tỉ số \( \frac{AM}{BM} = \frac{AC}{BC} \).

Do đó, từ tính chất vuông góc của \( CD \) và \( AB \), có:

- \( CA \) là khoảng cách từ C đến A.
- \( CH \) là khoảng cách từ C đến H.

Từ đó, có thể sử dụng các định lý về tam giác vuông để chứng minh rằng \( CA = CH \).

### b) Chứng minh \( E, M, F \) thẳng hàng

- Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên đường thẳng (O), và F là hình chiếu vuông góc của D trên đường thẳng B của (O).
- Ta có \( HE \perp AB \) và \( DF \perp AB \).
- Vì hình chiếu vuông góc tạo ra các đoạn vuông góc với đường thẳng chính, ta suy ra rằng E, M, F đều nằm trên cùng một đường thẳng.

### c) Chứng minh \( CM^1 < \frac{s_1}{s_2} \)

Để chứng minh bất đẳng thức này:

- Gọi \( S_1 \) là diện tích của tam giác ACH và \( S_2 \) là diện tích của tứ giác BCDF.
- Sử dụng công thức tính diện tích cho các hình geometries liên quan và các mối quan hệ giữa chúng.
- Chú ý rằng \( CM^1 \) có thể được tính thông qua chiều cao từ C đến AB và độ dài của AC.

Tùy thuộc vào vị trí của M, có thể sử dụng bất đẳng thức hình học và các thuộc tính của dạng hình để chỉ ra rằng \( CM^1 < \frac{s_1}{s_2} \).

Các bạn có thể thực hiện phép tính và sử dụng các tính chất trong hình học phẳng để đi đến kết quả cuối cùng.