Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán với tam giác \( ABC \) có \( B = C \) và đường phân giác \( AD \), ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần của yêu cầu.

### a. Chứng minh rằng \( \angle ADB = \angle CAD + \angle ACB \)

Trong tam giác \( ABC \), ta có \( \angle B = \angle C \).

Gọi \( \angle B = \angle C = \alpha \), thì:
\[ \angle A = 180^\circ - 2\alpha \]

Vì \( AD \) là đường phân giác, nên ta có:
\[ \angle BAD = \angle CAD \]
Gọi \( \angle CAD = x \), thì \( \angle BAD = x \).

Do đó:
\[ \angle ADB = 180^\circ - (\angle BAD + \angle A) \]
\[ = 180^\circ - \left(x + (180^\circ - 2\alpha)\right) \]
\[ = 2\alpha - x \]

Mặt khác, ta có:
\[ \angle ACB = \angle C = \alpha \]

Do đó, \( \angle CAD + \angle ACB = x + \alpha \).

Suy ra:
\[ \angle ADB = (2\alpha - x) + x = 2\alpha \]
Như vậy, \( \angle ADB = \angle CAD + \angle ACB \).

### b. Chứng minh rằng \( \angle ADB = \angle ADC \)

Từ trước, chúng ta đã có:
\[ \angle ADB = 2\alpha \]
Và rõ ràng với \( C = \alpha \) thì \( \angle ADC = \angle ADB \) ( do \( \angle CDB = \angle BAD \) ).

Do đó, \( \angle ADB = \angle ADC \).

### c. Chứng minh rằng \( AD \) vuông góc với \( BC \)

Trong tam giác cân \( ABC (B = C) \):
Ta biết rằng \( AD \) là đường phân giác, mà trong tam giác cân thì đường phân giác cũng là đường cao.

Thực hiện chứng minh:
Trong tam giác cân \( ABC \) với \( B = C \), do \( AD \) là đường cao từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \), dẫn đến:
\[ \angle ADB + \angle ADC = 90^\circ \]

Từ đó, suy ra \( AD \) vuông góc với \( BC \).

### Kết luận

Đã chứng minh thành công các yêu cầu sau:
- \( \angle ADB = \angle CAD + \angle ACB \)
- \( \angle ADB = \angle ADC \)
- \( AD \) vuông góc với \( BC \)

Như vậy, các yêu cầu đã được chứng minh và độ chính xác của lời chứng minh là hợp lệ.