Để rút gọn biểu thức \( S \), ta sẽ bắt đầu với biểu thức ở phần tử tử số và mẫu số.

**Tử số:**
\[
T = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \ldots + 1/200
\]
Đây là tổng các nghịch đảo của các số từ 2 đến 200.

**Mẫu số:**
\[
M = 1/199 + 2/198 + 3/197 + \ldots + 198/2 + 199/1
\]
Có thể viết lại mẫu số dưới dạng tổng:
\[
M = \sum_{k=1}^{199} \frac{k}{200-k}
\]
Ta sẽ thay thế \( k \) bằng \( 200 - j \) (nơi \( j = 200-k \)), ta có:
\[
M = \sum_{j=1}^{199} \frac{200-j}{j}
= \sum_{j=1}^{199} \left( \frac{200}{j} - 1 \right)
= 200 \sum_{j=1}^{199} \frac{1}{j} - 199
\]

Giờ đó, ta có:
\[
M = 200 \sum_{j=1}^{199} \frac{1}{j} - 199
\]

**Rút gọn biểu thức S:**
Thay tử và mẫu vào biểu thức \( S \), ta được:
\[
S = \frac{\sum_{n=2}^{200} \frac{1}{n}}{200 \sum_{j=1}^{199} \frac{1}{j} - 199}
\]

Chúng ta biết rằng:
\[
\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} = H_N \text{ (Harmonic number)}
\]
Do đó, ta có:
\[
\sum_{n=2}^{200} \frac{1}{n} = H_{200} - 1
\]
và
\[
\sum_{j=1}^{199} \frac{1}{j} = H_{199}
\]

Thay vào biểu thức, chúng ta có:
\[
S = \frac{H_{200} - 1}{200 H_{199} - 199}
\]

Đó là dạng rút gọn của biểu thức \( S \). Nếu bạn cần thêm chi tiết hoặc tính giá trị cụ thể của \( S \), bạn có thể sử dụng một máy tính hoặc phần mềm toán học để tính giá trị gần đúng của các số Harmonic.