Để tính giá trị của biểu thức \( S \), chúng ta cần phân tích cả tử và mẫu.

**Tử:**
Tử của biểu thức là tổng:

\[
1/2 + 1/3 + 1/4 + \ldots + 1/200
\]

Biểu thức này có thể viết lại như sau:

\[
\sum_{n=2}^{200} \frac{1}{n}
\]

**Mẫu:**
Mẫu của biểu thức là tổng:

\[
1/199 + 2/198 + 3/197 + \ldots + 198/2 + 199/1
\]

Chúng ta có thể viết lại tổng này như sau:

\[
\sum_{k=1}^{199} \frac{k}{200-k}
\]

Để tính mẫu, ta thực hiện biến đổi một chút. Ta biết rằng:

\[
\frac{k}{200-k} = \frac{200-k + k}{200-k} = \frac{200}{200-k} - 1
\]

Do đó, có thể viết lại mẫu như sau:

\[
\sum_{k=1}^{199} \frac{k}{200-k} = \sum_{k=1}^{199} \left( \frac{200}{200-k} - 1 \right)
\]

Tính toán trực tiếp từng phần:

1. Tính tổng đầu tiên:

\[
\sum_{k=1}^{199} \frac{200}{200-k} = 200 \sum_{k=1}^{199} \frac{1}{k}
\]

2. Tính tổng thứ hai:

\[
\sum_{k=1}^{199} 1 = 199
\]

Vậy tổng của mẫu trở thành:

\[
200 \sum_{k=1}^{199} \frac{1}{k} - 199
\]

Vậy \( S \) có thể được viết lại là:

\[
S = \frac{\sum_{n=2}^{200} \frac{1}{n}}{200 \sum_{k=1}^{199} \frac{1}{k} - 199}
\]

Để trả lời câu hỏi một cách chi tiết hơn, chúng ta cần tính các tổng này:

1. Tổng \( \sum_{n=2}^{200} \frac{1}{n} \) gần bằng:

\[
H_{200} - 1 \approx \ln(200) + \gamma - 1 \quad (\text{với } H_n \text{ là số Harmonic})
\]

2. Tổng \( \sum_{k=1}^{199} \frac{1}{k} \) cũng đã biết bằng:

\[
H_{199} \approx \ln(199) + \gamma
\]

Cuối cùng, để có giá trị cuối cùng cho \( S \), chúng ta cần tính gần đúng các hằng số và xử lý chúng. Mặc dù các giá trị cụ thể có thể thay đổi, tương đối dễ để tính gần đúng. Do số chia lớn và mẫu lớn hơn nhiều, \( S \) sẽ có giá trị nhỏ hơn 1.

Một cách để hoàn tất bài toán, ta chỉ cần đưa ra một con số ước lượng cho \( S \) mà không cần tính chính xác:

\[
S \approx \frac{H_{200} - 1}{200(H_{199}) - 199}
\]

Trả lời này cung cấp một cách tiếp cận để giải quyết bài toán cũng như hướng dẫn cách tính tổng của nó.