. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a,

Để giải bài toán này, ta có tứ diện ABCD với tất cả các cạnh đều bằng \(2a\). Ta xem xét các điểm, mặt phẳng và thiết diện của tứ diện theo từng bước.

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Ta đặt các tọa độ của các đỉnh tứ diện như sau:
- \(A(0, 0, 0)\)
- \(B(2a, 0, 0)\)
- \(C(a, a\sqrt{3}, 0)\) (chọn C nằm trên mặt phẳng xy)
- \(D(a, \frac{a\sqrt{3}}{3}, \sqrt{\frac{8}{3}} a)\) (D nằm phía trên, tạo thành một tứ diện đều)

2. **Xác định các điểm I và J**:
- **Điểm I** là trung điểm của AC:
\[
I\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + a\sqrt{3}}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = I\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)
\]

- **Điểm J** nằm trên cạnh AD sao cho \(AJ = 2JD\). Khi này, ta sẽ tìm tỉ lệ chia đoạn AD:
- Gọi \(J\) chia \(AD\) theo tỉ lệ \(2:1\), nghĩa là \(AJ = \frac{2}{3} AD\) và \(JD = \frac{1}{3} AD\).
- Tọa độ của J có thể xác định bằng cách:
\[
J = \frac{2}{3} A + \frac{1}{3} D = \frac{2}{3}(0, 0, 0) + \frac{1}{3}(a, \frac{a\sqrt{3}}{3}, \sqrt{\frac{8}{3}}a) = \left(\frac{a}{3}, \frac{a\sqrt{3}}{9}, \frac{2a\sqrt{2}}{9}\right)
\]

3. **Xác định phương trình mặt phẳng (P)**:
- Mặt phẳng (P) chứa IJ và song song với AB.
- Vector chỉ phương của IJ là:
\[
IJ = J - I = \left(\frac{a}{3} - \frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{9} - \frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{2a\sqrt{2}}{9} - 0\right)
= \left(-\frac{a}{6}, -\frac{4a\sqrt{3}}{18}, \frac{2a\sqrt{2}}{9}\right)
\]
- Vector chỉ phương AB là \((2a, 0, 0)\). Mặt phẳng (P) có phương trình có thể viết theo vector pháp tuyến.

4. **Xác định diện tích thiết diện**:
- Mặt phẳng (P) cắt tứ diện tạo thành một hình thang hoặc hình tam giác. Ta cần tính diện tích thiết diện.
- Chúng ta sẽ tính độ dài của các cạnh thiết diện. Các cạnh này chính là khoảng cách giữa các điểm trên các cạnh của tứ diện tương ứng với mặt phẳng cắt này.

Sau cùng, ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích cho hình tam giác hoặc hình khác với các cạnh đã tìm.

Tuy nhiên, chi tiết tính toán có thể phức tạp và cần tính riêng cho mỗi trường hợp cụ thể. Bước cuối cùng này thường yêu cầu tính thêm các chiều cao, diện tích các hình và thông qua công thức Heron nếu cần thiết.

Kết quả cuối cùng cho diện tích thiết diện sẽ là một giá trị cụ thể sau khi hoàn tất tất cả tính toán này.