1) Chứng minh tứ giác AMDK là hình chữ nhật:

• Cách 1: Chứng minh tứ giác có 3 góc vuông.

  • Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc A = 90°.
  • Vì DK // AB mà góc A = 90° nên góc KDA = 90° (hai góc trong cùng phía).
  • Vì DM // AC mà góc A = 90° nên góc DMA = 90° (hai góc trong cùng phía).
  • Tứ giác AMDK có 3 góc vuông (góc A, góc KDA và góc DMA) nên AMDK là hình chữ nhật.

• Cách 2: Chứng minh tứ giác là hình bình hành có 1 góc vuông.

  • Vì DK // AB và DM // AC nên tứ giác AMDK là hình bình hành.
  • Mà góc A = 90° nên hình bình hành AMDK là hình chữ nhật. (Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật).

2) Chứng minh tứ giác MDCK là hình bình hành:

• Cách 1: Chứng minh tứ giác có các cặp cạnh đối song song.

  • Theo đề bài, DK // AB hay DK // MC (vì M thuộc AB).
  • Vì D là trung điểm của BC nên BD = DC.
  • Xét tam giác ABC có D là trung điểm BC và DM // AC nên M là trung điểm AB (tính chất đường trung bình trong tam giác). Do đó AM=MB
  • Vì M là trung điểm AB nên AM = MB. Mà MB là một phần của AB, K thuộc AC. Vậy MC song song và bằng DK. Vậy MD//CK
  • Tứ giác MDCK có DK // MC và DM // CK nên MDCK là hình bình hành.

• Cách 2: Chứng minh tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau.

  • Chứng minh tương tự như cách 1 ta có M là trung điểm của AB.
  • Xét tam giác ABC có D là trung điểm BC và DM // AC nên DM là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra DM = 1/2 AC.
  • Tương tự, xét tam giác ABC có D là trung điểm BC và DK // AB nên DK là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra DK = 1/2 AB.
  • Vì AMDK là hình chữ nhật nên AK = MD và AM = KD.
  • Ta có CM = AB-AM = AB-KD=2KD-KD=KD
  • Tương tự CK=AC-AK=AC-MD=2MD-MD=MD
  • Vậy MDCK có các cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành.