Để giải quyết bài toán, ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### a) Giải thích vì sao tứ giác BDEF là hình bình hành

- **Giả sử các điểm**:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(0, c) \)

- **Tính các tọa độ của các điểm trung điểm**:
- Điểm D là trung điểm của AB:
\[
D\left( \frac{0+b}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = D\left( \frac{b}{2}, 0 \right)
\]

- Điểm E là trung điểm của BC:
\[
E\left( \frac{b+0}{2}, \frac{0+c}{2} \right) = E\left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]

- Điểm F là trung điểm của AC:
\[
F\left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+c}{2} \right) = F\left( 0, \frac{c}{2} \right)
\]

- **Chứng minh tứ giác BDEF là hình bình hành**:
- Để một tứ giác là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện song song.

- **Xét hai cặp cạnh BD và EF**:
- Vector BD:
\[
\overrightarrow{BD} = D - B = \left( \frac{b}{2} - b, 0 - 0 \right) = \left( -\frac{b}{2}, 0 \right)
\]
- Vector EF:
\[
\overrightarrow{EF} = F - E = \left( 0 - \frac{b}{2}, \frac{c}{2} - \frac{c}{2} \right) = \left( -\frac{b}{2}, 0 \right)
\]
- Vậy \( \overrightarrow{BD} \parallel \overrightarrow{EF} \).

- **Xét cặp cạnh BE và DF**:
- Vector BE:
\[
\overrightarrow{BE} = E - B = \left( \frac{b}{2} - b, \frac{c}{2} - 0 \right) = \left( -\frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]
- Vector DF:
\[
\overrightarrow{DF} = F - D = \left( 0 - \frac{b}{2}, \frac{c}{2} - 0 \right) = \left( -\frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right)
\]
- Vậy \( \overrightarrow{BE} \parallel \overrightarrow{DF} \).

Vậy, tứ giác BDEF là hình bình hành.

### b) Gọi K là trung điểm của DE. Chứng minh rằng ba điểm BKF thẳng hàng và \( KA = KF \)

- **Tính tọa độ của K**:
\[
K = \left( \frac{\frac{b}{2} + \frac{b}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{c}{2}}{2} \right) = K\left( \frac{b}{2}, \frac{c}{4} \right)
\]

- **Chứng minh ba điểm BKF thẳng hàng**:
- Xét vector BK và KF:
- Vector BK:
\[
\overrightarrow{BK} = K - B = \left( \frac{b}{2} - b, \frac{c}{4} - 0 \right) = \left( -\frac{b}{2}, \frac{c}{4} \right)
\]
- Vector KF:
\[
\overrightarrow{KF} = F - K = \left( 0 - \frac{b}{2}, \frac{c}{2} - \frac{c}{4} \right) = \left( -\frac{b}{2}, \frac{c}{4} \right)
\]
- Vậy \( \overrightarrow{BK} \parallel \overrightarrow{KF} \) nên ba điểm BKF thẳng hàng.

- **Chứng minh \( KA = KF \)**:
- Tính \( KA \):
\[
KA = K - A = \left( \frac{b}{2} - 0, \frac{c}{4} - 0 \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{4} \right)
\]

- Tính \( KF \):
\[
KF = K - F = \left( \frac{b}{2} - 0, \frac{c}{4} - \frac{c}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, -\frac{c}{4} \right)
\]

Vậy \( KA = KF \) vì độ dài của chúng bằng nhau.

Kết luận: Ba điểm BKF thẳng hàng và \( KA = KF \).