Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho để tính diện tích của tam giác và tỉ số độ dài giữa các đoạn thẳng.

### 1. Tính diện tích của tam giác ABF và tam giác AEF:

Gọi \( S_{ABC} \) là diện tích của tam giác \( ABC \), theo đề bài thì:

\[
S_{ABC} = 42 \, \text{cm}^2
\]

Ta có thể phân tích các tỉ lệ diện tích của các tam giác liên quan đến nhau như sau:

- Gọi \( S_{AEF} \) là diện tích của tam giác \( AEF \).
- Gọi \( S_{ABF} \) là diện tích của tam giác \( ABF \).

Từ điểm \( E \) nằm trên cạnh \( AC \) với \( CE = \frac{1}{3} AE \), có thể tính được tỉ lệ diện tích của tam giác \( AEF \) so với tam giác \( ABC \):

Diện tích của tam giác \( AEF \) là:

\[
S_{AEF} = \frac{AE}{AC} \times S_{ABC} = \frac{AE}{AE + CE} \times S_{ABC} = \frac{AE}{AE + \frac{1}{3} AE} \times S_{ABC} = \frac{AE}{\frac{4}{3} AE} \times S_{ABC} = \frac{3}{4} S_{ABC}
\]

Do đó:

\[
S_{AEF} = \frac{3}{4} \times 42 = 31.5 \, \text{cm}^2
\]

Tương tự với tam giác \( ABF \), ta có \( BF = \frac{1}{2} FC \), có nghĩa là tỉ lệ của \( FC \) so với \( BC \) là \( \frac{2}{3} \).

Diện tích của tam giác \( ABF \) là:

\[
S_{ABF} = \frac{AB}{BC} \times S_{ABC} = \frac{BF}{BC} \times S_{ABC} = \frac{BF}{BF + FC} \times S_{ABC} = \frac{BF}{\frac{1}{2} FC + FC} \times S_{ABC} = \frac{\frac{1}{2} FC}{\frac{3}{2} FC} \times S_{ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC}
\]

Vậy:

\[
S_{ABF} = \frac{1}{3} \times 42 = 14 \, \text{cm}^2
\]

### 2. Tính tỉ số độ dài giữa KB và KA:

Khi đoạn thẳng \( EF \) cắt \( AB \) tại \( K \), ta có thể sử dụng tỉ lệ diện tích để tính:

\[
\frac{S_{ABK}}{S_{AEK}} = \frac{KB}{KA}
\]

Theo các diện tích đã tính được trên thì:

- \( S_{ABK} + S_{AEK} = S_{AEF} + S_{ABF} = S_{ABC} \)

Từ đây, ta có thể tìm tỉ lệ \( \frac{KB}{KA} \):
Nếu ta giả thiết rằng \( S_{ABK} = x \) và \( S_{AEK} = 31.5 - x \):

Từ tỉ lệ chúng ta tính được là

\[
\frac{x}{31.5 - x} = \frac{KB}{KA}
\]

Vì chưa biết \( KA \) và \( KB \), ta dùng tỉ lệ diện tích:

Kết luận tỉ số độ dài:

\[
\frac{KB}{KA} = \frac{S_{ABF}}{S_{AEF}} = \frac{14}{31.5}
\]

Nếu ta tính phân số:

\[
\frac{14}{31.5} \approx 0.444 \quad (tương đương \frac{28}{63} \text{ hay } \frac{4}{9})
\]

Vậy tỉ số độ dài giữa \( KB \) và \( KA \) là:

\[
\frac{KB}{KA} = \frac{4}{9}
\]

### Kết luận:

1. Diện tích tam giác \( ABF = 14 \, \text{cm}^2 \), diện tích tam giác \( AEF = 31.5 \, \text{cm}^2 \).
2. Tỉ số độ dài giữa \( KB \) và \( KA \) là \( \frac{4}{9} \).