a) 3xy + 2x - 5y = 7
9xy + 6x - 15y = 21
3x(3y + 2) - 15y = 21
3x(3y + 2) - 5(3y + 2) + 10 = 21
(3x - 5)(3y + 2) = 11
Vì x và y là số nguyên, nên (3x - 5) và (3y + 2) là các ước số nguyên của 11. Các ước số của 11 là ±1 và ±11. Ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1: 3x - 5 = 1 và 3y + 2 = 11 => x = 2 và y = 3.
Trường hợp 2: 3x - 5 = 11 và 3y + 2 = 1 => x = 16/3 (loại vì x không nguyên).
Trường hợp 3: 3x - 5 = -1 và 3y + 2 = -11 => x = 4/3 (loại vì x không nguyên).
Trường hợp 4: 3x - 5 = -11 và 3y + 2 = -1 => x = -2 và y = -1.
Vậy, phương trình có hai nghiệm nguyên là (2, 3) và (-2, -1).
b)
2xy + x - 3y = 4
4xy + 2x - 6y = 8
2x(2y + 1) - 6y = 8
2x(2y + 1) - 3(2y + 1) + 3 = 8
(2x - 3)(2y + 1) = 5
Các ước số của 5 là ±1 và ±5. Xét các trường hợp:
Trường hợp 1: 2x - 3 = 1 và 2y + 1 = 5 => x = 2 và y = 2.
Trường hợp 2: 2x - 3 = 5 và 2y + 1 = 1 => x = 4 và y = 0.
Trường hợp 3: 2x - 3 = -1 và 2y + 1 = -5 => x = 1 và y = -3.
Trường hợp 4: 2x - 3 = -5 và 2y + 1 = -1 => x = -1 và y = -1.
Vậy, phương trình có bốn nghiệm nguyên là (2, 2), (4, 0), (1, -3) và (-1, -1).
c)
5xy + 4x - 2y = 6
25xy + 20x - 10y = 30
5x(5y + 4) - 10y = 30
5x(5y + 4) - 2(5y + 4) + 8 = 30
(5x - 2)(5y + 4) = 22
Các ước số của 22 là ±1, ±2, ±11 và ±22. Xét các trường hợp:
Trường hợp 1: 5x - 2 = 1 và 5y + 4 = 22 => x = 3/5 (loại).
Trường hợp 2: 5x - 2 = 2 và 5y + 4 = 11 => x = 4/5 (loại).
Trường hợp 3: 5x - 2 = 11 và 5y + 4 = 2 => x = 13/5 (loại).
Trường hợp 4: 5x - 2 = 22 và 5y + 4 = 1 => x = 24/5 (loại).
Trường hợp 5: 5x - 2 = -1 và 5y + 4 = -22 => x = 1/5 (loại).
Trường hợp 6: 5x - 2 = -2 và 5y + 4 = -11 => x = 0 và y = -3.
Trường hợp 7: 5x - 2 = -11 và 5y + 4 = -2 => x = -9/5 (loại).
Trường hợp 8: 5x - 2 = -22 và 5y + 4 = -1 => x = -4 và y = -1.
Vậy, phương trình có hai nghiệm nguyên là (0, -3) và (-4, -1).