Cho phương trình x³ - (2m - 5 )x² + (m² - m + 7)x - (m ^ 2 + m + 3) = 0. Tìm m Để phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình

\[
x^3 - (2m - 5)x^2 + (m^2 - m + 7)x - (m^2 + m + 3) = 0
\]

có 3 nghiệm dương phân biệt, ta cần áp dụng một số điều kiện sau:

1. Phương trình phải có ba nghiệm thực (có nghĩa là tam thức bậc 3 phải cắt trục hoành tại ba điểm).
2. Tất cả các nghiệm này phải dương.

### Bước 1: Điều kiện có ba nghiệm thực

Để có ba nghiệm thực, ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm bậc nhất của hàm số:

\[
f(x) = x^3 - (2m - 5)x^2 + (m^2 - m + 7)x - (m^2 + m + 3)
\]

Tính đạo hàm:

\[
f'(x) = 3x^2 - 2(2m - 5)x + (m^2 - m + 7)
\]

Tam thức bậc 2 này có nghiệm thực khi:

\[
D = (2(2m - 5))^2 - 4 \cdot 3 \cdot (m^2 - m + 7) \geq 0
\]

Giải phương trình này cho \( D \geq 0 \) để tìm điều kiện của \( m \).

### Bước 2: Đảm bảo ba nghiệm dương phân biệt

Sau khi xác định điều kiện có ba nghiệm thực, ta cần đảm bảo rằng tất cả các nghiệm của phương trình đều dương. Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng định lý Viète, cho biết rằng tổng các nghiệm là \( (2m - 5) \), tích các nghiệm là \( -(m^2 + m + 3) \) và tích các cặp nghiệm là \( (m^2 - m + 7) \).

- Để tổng nghiệm dương: \( 2m - 5 > 0 \) hay \( m > 2.5 \).
- Để tích các nghiệm dương: \( -(m^2 + m + 3) > 0 \) hay \( m^2 + m + 3 < 0 \) (không có giá trị thực cho \( m \)).
- Để các cặp nghiệm âm: \( (m^2 - m + 7) > 0 \) ta có giải bất phương trình này.

### Kết luận

Ta cần giải must follow các điều kiện và kiểm tra giá trị ra của \( m \) nào thỏa mãn tất cả các yêu cầu trên.

### Bước thực hiện cụ thể

1. Giải bất phương trình \( D = (2(2m - 5))^2 - 12(m^2 - m + 7) \geq 0 \).
2. Tìm điều kiện dương của từng nghiệm qua đạo hàm.
3. Kết hợp tất cả các điều kiện vừa tìm được để xác định miền giá trị của m.

Do đó, quá trình tìm m để phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt là một khảo sát phức tạp qua các bước trên.

Nếu cần giúp đỡ chi tiết hơn để giải các bất phương trình này, vui lòng cho biết!