Chúng ta có \( x = y + 1 \). Bây giờ hãy thay thế \( x \) vào phương trình \( x^3 - 3xy - y^2 = 1 \).

1. Tính giá trị \( x^3 \):

\[
x^3 = (y + 1)^3 = y^3 + 3y^2 + 3y + 1
\]

2. Tính giá trị \( 3xy \):

\[
3xy = 3(y + 1)y = 3y^2 + 3y
\]

3. Thay các giá trị vào phương trình \( x^3 - 3xy - y^2 \):

\[
x^3 - 3xy - y^2 = (y^3 + 3y^2 + 3y + 1) - (3y^2 + 3y) - y^2
\]

4. Đơn giản hóa biểu thức:

\[
= y^3 + 3y^2 + 3y + 1 - 3y^2 - 3y - y^2
\]

\[
= y^3 + 1 - y^2
\]

5. Kết hợp các hạng tử:

\[
= y^3 - y^2 + 1
\]

Do đó, \( x^3 - 3xy - y^2 = 1 \) có thể viết lại là:

\[
y^3 - y^2 + 1 = 1
\]

Từ đó, ta thấy \( y^3 - y^2 = 0 \), hay

\[
y^2(y - 1) = 0
\]

Điều này cho chúng ta hai trường hợp:

- \( y = 0 \) dẫn đến \( x = 1 \)
- \( y = 1 \) dẫn đến \( x = 2 \)

Đối với cả hai trường hợp, chúng ta đều có phép chứng minh rằng tương đương với \( x = y + 1 \), phương trình \( x^3 - 3xy - y^2 = 1 \) luôn đúng.

Vậy ta đã chứng minh được: khi \( x = y + 1 \), phương trình \( x^3 - 3xy - y^2 = 1 \) đúng.