a) Tứ giác ADHE là hình gì? Vì sao?
Theo đề bài, ta có:
Góc A = 90° (tam giác ABC vuông tại A)
HD vuông góc với AB tại D => Góc ADH = 90°
HE vuông góc với AC tại E => Góc AEH = 90°
Tứ giác ADHE có ba góc vuông (góc A, góc ADH, góc AEH).
Vậy tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
b) Tính diện tích của tứ giác ADHE nếu AD = 4 cm; AH = 5 cm.
Vì ADHE là hình chữ nhật (chứng minh ở câu a), nên diện tích của nó được tính bằng công thức: Diện tích = chiều dài × chiều rộng.
Trong trường hợp này, chiều dài là AH = 5 cm và chiều rộng là AD = 4 cm.
Vậy diện tích tứ giác ADHE là: 4 cm × 5 cm = 20 cm².
c) Lấy hai điểm I và K sao cho D là trung điểm của BI và D cũng là trung điểm của HK. Chứng minh tứ giác BKIH là hình bình hành; AK vuông góc với IH.
Chứng minh tứ giác BKIH là hình bình hành:
Theo đề bài, D là trung điểm của BI và HK.
Điều này có nghĩa là BD = DI và HD = DK.
Một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó là hình bình hành.
Vậy tứ giác BKIH là hình bình hành.
Chứng minh AK vuông góc với IH:
Vì BKIH là hình bình hành (đã chứng minh ở trên), nên BH // IK và BH = IK.
Vì ADHE là hình chữ nhật (chứng minh ở câu a), nên AD // HE và AD = HE. Hơn nữa, ta có AD vuông góc với AB.
Xét tam giác ABH vuông tại H có HD vuông góc với AB nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AH² = AD * AB.
Xét tam giác AHC vuông tại H có HE vuông góc với AC nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AH² = AE * AC.
Do đó AD * AB = AE * AC. Suy ra AD/AC = AE/AB. Vậy tam giác ADE đồng dạng tam giác ACB (c.g.c). Suy ra góc ADE = góc ACB.
Vì ADHE là hình chữ nhật, nên góc ADE = 90°. Vì vậy góc ACB = 90°. Điều này mâu thuẫn với giả thiết tam giác ABC vuông tại A. Vậy chứng minh này có vấn đề.
Ta có BH vuông góc với AC (vì BH là đường cao). Mà IK // BH (vì BKIH là hình bình hành), suy ra IK vuông góc với AC.
Ta có HE vuông góc với AC. Mà IK vuông góc với AC. Suy ra HE // IK.
Xét tứ giác AHEK có HE // IK và HK // AE (cùng vuông góc với AB) nên AHEK là hình bình hành.
Vì ADHE là hình chữ nhật nên AH = DE. Mà HK = 2HD.
Vì AHEK là hình bình hành nên AH = EK. Vậy DE = EK.
Vì D là trung điểm của HK nên HD = DK.
Xét tam giác AHD và tam giác AKD có: AD chung, HD = KD, AH = AK (vì AHEK là hình bình hành). Vậy tam giác AHD = tam giác AKD (c.c.c). Suy ra góc HAD = góc KAD.
Ta có IH cắt AK tại D. Xét tam giác ADH và tam giác ADK bằng nhau (c.c.c) suy ra góc ADH = góc ADK = 90°. Vậy AK vuông góc với HD. Mà IH // HD nên AK vuông góc với IH.
Vậy, ta đã chứng minh được tứ giác BKIH là hình bình hành và AK vuông góc với IH.