Để tính giá trị của \( N = \frac{(a+b)^2}{c} + \frac{(b+c)^2}{a} + \frac{(c+a)^2}{b} \), chúng ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho:

1. \( a + b + c = 4 \)
2. \( \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} = 6 \)

Đầu tiên, từ điều kiện thứ hai, ta có:

\[
\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} = \frac{(a+b)^2}{ab} + \frac{(b+c)^2}{bc} + \frac{(c+a)^2}{ca} = 6
\]

Ta biết rằng:

\[
\frac{(a+b)^2}{c} = \frac{(4-c)^2}{c} = \frac{16 - 8c + c^2}{c} = \frac{16}{c} - 8 + c
\]
\[
\frac{(b+c)^2}{a} = \frac{(4-a)^2}{a} = \frac{16 - 8a + a^2}{a} = \frac{16}{a} - 8 + a
\]
\[
\frac{(c+a)^2}{b} = \frac{(4-b)^2}{b} = \frac{16 - 8b + b^2}{b} = \frac{16}{b} - 8 + b
\]

Vậy ta có:

\[
N = \left( \frac{16}{c} - 8 + c \right) + \left( \frac{16}{a} - 8 + a \right) + \left( \frac{16}{b} - 8 + b \right)
\]
\[
N = \frac{16}{a} + \frac{16}{b} + \frac{16}{c} + (a + b + c) - 24
\]
\[
N = \frac{16}{a} + \frac{16}{b} + \frac{16}{c} + 4 - 24
\]
\[
N = \frac{16}{a} + \frac{16}{b} + \frac{16}{c} - 20
\]

Từ điều kiện thứ hai \( \frac{(a+b)}{c} + \frac{(b+c)}{a} + \frac{(c+a)}{b} = 6 \):

Ta sẽ nhân cả hai bên với \( abc \) và biến đổi để tính \( N \):

\[
\frac{(a+b)^2}{ab} + \frac{(b+c)^2}{bc} + \frac{(c+a)^2}{ca} = 6
\]

Sau cùng, tại đây đã dẫn đến sự việc có thể xảy ra thêm thông tin về \( N \) nếu ta sử dụng thêm điều kiện của phương trình phân tích hoặc tìm giá trị trung bình cho \( a, b, c \).

Tuy nhiên, từ điều kiện trên, ta có thể sử dụng đại số hoặc vi phân để xem xét các yếu tố \( a = b = c \) và do đó:

Mỗi giá trị của điều kiện thứ 3 cho \( a = b = c = \frac{4}{3} \), giờ tính từng phần cho giá trị \( N \):

\[
N = 3 \cdot \frac{(2(\frac{4}{3}))^2}{\frac{4}{3}} = 3 \cdot \frac{(\frac{8}{3})^2}{\frac{4}{3}} = 3 \cdot \frac{64/9}{4/3} = 3 \cdot \frac{64}{12} = 16
\]

Vậy giá trị của \( N \) là:

\[
\boxed{16}
\]