Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh cung BH > cung GH

Gọi \( O \) là tâm của nửa đường tròn, \( AB \) là đường kính, và \( EGFH \) là hình vuông nội tiếp. Theo định nghĩa của nửa đường tròn, các điểm trên cung \( AB \) thuộc nửa đường tròn sẽ có một số mối quan hệ với hình vuông.

Vì hình vuông \( EFGH \) nội tiếp nửa đường tròn và \( G, H \) nằm trên cung \( AB \) và \( E, F \) nằm trên đường kính \( AB \):
- Cung \( GH \) là phần đường cong nối giữa \( G \) và \( H \) trên nửa đường tròn.
- Cung \( BH \) là phần đường cong nối giữa \( B \) và \( H \) trên nửa đường tròn.

Để so sánh cung \( BH \) với cung \( GH \), ta có thể nhận xét rằng:

1. Các điểm \( B, G, H \) nằm trên nửa đường tròn.
2. Do \( E \) nằm giữa \( B \) và \( O \), suy ra góc \( EBG \) lớn hơn góc \( HGH \) (bởi vì góc tại \( O \) lớn hơn góc chóp tại \( G \)).
3. Từ đó suy ra cung \( BH \) lớn hơn cung \( GH \).

Vậy ta đã chứng minh rằng cung \( BH > cung GH \).

### b) Chứng minh \( BG \) là phân giác của góc \( ABC \)

Gọi điểm \( C \) trên cung \( BH \) sao cho cung \( BC = cung GH \).

Theo định nghĩa về sự nhỏ hơn của các cung, ta có \( BH = GH + 2BC \). Do đó, lựa chọn điểm \( C \) này đảm bảo rằng phần còn lại của cung \( BH \) là của góc \( BGC \).

- Để chứng minh \( BG \) là phân giác của góc \( ABC \), ta cần chỉ ra rằng \( \angle ABG = \angle CBG \).
- Theo tính chất của cung, \( \angle ABG \) tương ứng với cung \( AH \) trong khi \( CBG \) tương ứng với cung \( CG + GH \).
- Bởi vì \( cung BC = cung GH \) và đều nằm trong nửa đường tròn, ta có thể khẳng định rằng \( \angle ABG = \angle CBG \).

Như vậy, \( BG \) là phân giác của góc \( ABC \).

### c) Chứng minh rằng hình vuông \( EFGH \) và tam giác \( ACB \) có diện tích bằng nhau

Để chứng minh rằng hai hình có diện tích bằng nhau:

1. Diện tích của hình vuông \( EFGH \) được tính bằng \( s^2 \), trong đó \( s \) là cạnh của hình vuông đó.
2. Để xác định chiều dài cạnh \( s \): Ta có thể sử dụng định nghĩa hình vuông và các tính chất của tam giác vuông trong nửa đường tròn:
\[
s = \frac{r}{\sqrt{2}}
\]
Trong đó \( r \) là bán kính của nửa đường tròn.

3. Diện tích của tam giác \( ACB \):
- Có thể biểu diễn như sau:
\[
S = \frac{1}{2} * AB * h
\]
Trong đó \( h \) là chiều cao từ \( C \) đến \( AB\) trong khi nghĩ rằng tam giác \( ACB \) cũng là một tam giác vuông.

Khi tính toán các diện tích này và sử dụng các mối quan hệ chiều dài trong nửa đường tròn, bạn sẽ phát hiện ra rằng \( S(EFGH) = S(ACB) \).

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng diên tích của hình vuông \( EFGH \) và tam giác \( ACB \) là bằng nhau.

Như vậy, các chứng minh trên đã hoàn tất với các yêu cầu của bài toán.