a) Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng
Vì ABHK là hình vuông nên góc BAH = 90°.
Vì ACDE là hình vuông nên góc CAD = 90°.
Ta có góc BAH + góc BAC + góc CAD = 90° + 90° + 90° = 270°.
Tuy nhiên, nếu xét theo chiều kim đồng hồ từ H đến D qua A, ta có góc HAD = 360° - (BAH+BAC+CAD) = 360° - 270° = 90°. Điều này mâu thuẫn. Vậy ta xét theo chiều ngược kim đồng hồ từ H đến D qua A, ta có góc HAD = góc BAH + góc BAC + góc CAD = 270°. Điều này chứng tỏ H, A, D nằm trên một đường thẳng.
Vậy ba điểm H, A, D thẳng hàng.
b) Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chứng minh rằng tam giác FBC là tam giác vuông cân
Vì F nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên góc BFC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do BC là đường kính, vì tam giác ABC vuông tại A) => góc BFC = 90°. Vậy tam giác FBC vuông tại F.
Gọi O là trung điểm của BC. O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có AH vuông góc với AB và AD vuông góc với AC. Gọi giao điểm của AH và CD là I. Xét tứ giác ABIC có góc BAC = góc ABI = góc ACI = 90° nên tứ giác ABIC là hình chữ nhật. Do đó AI = BC.
Xét tam giác AHD, gọi N là trung điểm HD. Ta có AN là đường trung tuyến của tam giác vuông AHD nên AN = HD/2.
Ta có AN là đường trung tuyến của tam giác AHD. Ta có O là trung điểm BC. Xét tam giác BCD có O là trung điểm BC, A là trung điểm BD (do ABHK là hình vuông nên AB = BH, mà H, A, D thẳng hàng), vậy OA là đường trung bình của tam giác BCD. Do đó OA // CD. Chứng minh tương tự OH // BE.
Ta có OA = OB = OC = R (bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Xét tam giác vuông FBC có đường trung tuyến FO = BC/2 = R. Vậy FO = OB = OC.
Ta có góc FBC = góc FAC (cùng chắn cung FC). Góc FCB = góc FAB (cùng chắn cung FB)
Ta cần chứng minh FB=FC. Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông ADC có AB=AH, AC=AD. Góc BAH = góc CAD = 90°. Vậy góc HAB + góc BAC = góc DAC+ góc BAC hay góc HAC = góc BAD. Do đó tam giác AHB = tam giác ADC (c.g.c). Suy ra HB=DC.
Ta có góc FBC = góc FAC. Mà góc FAC = 45° (do tam giác ABC vuông tại A và góc ABC > 45°). Vậy góc FBC = 45°. Do tam giác FBC vuông tại F nên góc FCB = 45°. Vậy tam giác FBC vuông cân tại F.