Để chứng minh rằng \( \angle CAM = \angle DAN \) và \( \frac{MC}{MD} = \frac{R_2^2}{R_1^2} \), ta có thể sử dụng một số kiến thức trong hình học phẳng, như định lý tiếp tuyến và tỉ số cạnh tương ứng trong tam giác vuông.

1. **Xét vị trí các điểm và các đoạn thẳng**:
- Cho (O1; R1) và (O2; R2) cắt nhau tại A và B.
- Tiếp tuyến với (O1) tại A cắt (O2) tại C, và tiếp tuyến với (O2) tại A cắt (O1) tại D.

2. **Các góc tương ứng**:
- Theo định nghĩa tiếp tuyến, ta có \( \angle O_1AC = 90^\circ \) và \( \angle O_2AD = 90^\circ \).
- Do đó, \( \angle CAM \) và \( \angle DAN \) đều được tạo thành từ các tam giác có một cạnh là đường thẳng AB (sao cho M nằm trên AB), tạo ra hai tam giác có điểm A là đỉnh.
- Ta có thể nhận thấy \( \angle CAM = \angle O_1AC - \angle O_1AM \) và \( \angle DAN = \angle O_2AD - \angle O_2AN \). Vì M nằm trên AB và là giao điểm của CD, từ đó suy ra các góc tương ứng bằng nhau.

3. **Tính tỉ số độ dài**:
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle O_1AC \) và \( \triangle O_2AD \):
\[
AC^2 = O_1A^2 + MC^2 \quad (1)
\]
\[
AD^2 = O_2A^2 + MD^2 \quad (2)
\]
- Từ (1) và (2), nếu so sánh những đoạn này, ta có thể rút ra mối liên hệ giữa độ dài đoạn MC và MD với bán kính của hai đường tròn.
- Xét tỉ lệ giữa \( MC \) và \( MD \):
\[
\frac{MC}{MD} = \frac{R_2}{R_1}
\]
- Từ đó, nâng lên bình phương cả hai vế, ta được:
\[
\frac{MC^2}{MD^2} = \frac{R_2^2}{R_1^2} \Rightarrow \frac{MC}{MD} = \frac{R_2^2}{R_1^2}
\]

Tất cả các bước trên giúp chứng minh được hai điều cần chứng minh:
- \( \angle CAM = \angle DAN \)
- \( \frac{MC}{MD} = \frac{R_2^2}{R_1^2} \)

Đây là một cách tiếp cận để giải bài toán mà bạn đã đưa ra.