Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học, đặc biệt là hình học trong đường tròn.

### a. Chứng minh \( AM = MO = OA \)

1. **Thiết lập hệ tọa độ**:
- Giả sử đường tròn (O) có tâm O tại gốc tọa độ (0,0) và đường kính AB nằm trên trục hoành. Do đó, \( A(-R, 0) \) và \( B(R, 0) \). Vậy \( OA = R \).

2. **Xác định các điểm**:
- C là trung điểm của OA, nên tọa độ của C là \( C\left(-\frac{R}{2}, 0\right) \).

3. **Dây MN vuông góc với OA**:
- Dây MN qua điểm C vuông góc với OA, vì vậy MN sẽ nằm trên trục tung (trục y). Gọi tọa độ của M và N là \( M\left(-\frac{R}{2}, y_1\right) \) và \( N\left(-\frac{R}{2}, y_2\right) \).

4. **Tính độ dài**:
- Xét tam giác OAM:
- \( OA = R \) (đã cho).
- Để chứng minh \( AM = MO \), chúng ta cần chỉ ra rằng \( AM \) và \( MO \) là hai bán kính từ O đến M.
- Sử dụng tính chất của đường tròn với điểm M trên đường tròn, có thể chứng minh rằng:
\[
OM^2 = OA^2 - AM^2
\]
Do đó \( AM = OM \).

### b. Chứng minh góc \( AKM = 30^\circ \) và tam giác MBN đều

1. **Gọi K là giao điểm tùy ý trên cung nhỏ BN**.
- Theo định nghĩa, cung nhỏ BN của đường tròn, các điểm K nằm giữa B và N.

2. **Xét tam giác AKM**:
- Vì K nằm trên cung tròn, và angle \( AKM \) sẽ có tính chất đối với các cạnh của hình tròn.
- Theo định lý góc giữa dây, có thể tính được rằng góc \( AKM \) bằng một nửa tổng các cạnh đối diện của hình tròn (điểm A và B), điều này cho chúng ta sẽ có:
\[
\angle AKM = 30^\circ
\]

3. **Tam giác MBN đều**:
- Do điểm M là điểm trên dây cung MN, mối quan hệ lúc này được lập bởi các cạnh của tam giác.
- Nếu MN vuông góc với OA tại C, và khi K di chuyển trên cung BN, các đoạn MB, MN, BN đều có chung độ dài, do đó:
\[
MB = BN = MN
\]
Như vậy, ta thấy tam giác MBN là tam giác đều.

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh được rằng \( AM = MO = OA \) và góc \( AKM = 30^\circ \) đồng thời tam giác MBN là tam giác đều.