Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này.

### Phần a) Chứng minh tam giác AMB vuông và AM vuông góc EO.

1. **Chứng minh tam giác AMB vuông**:
- Trong nửa đường tròn (O) với đường kính AB, theo định lý đường kính, bất kỳ tam giác nào có một cạnh là đường kính thì tam giác đó sẽ vuông tại đỉnh còn lại. Do đó, tam giác AMB vuông tại M.

2. **Chứng minh AM vuông góc EO**:
- Bởi vì MA là một tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A và OA là bán kính. Qua định lý tiếp tuyến, thì MA vuông góc với OA.
- Tương tự, MB cũng là một tiếp tuyến của nửa đường tròn tại B và OB là bán kính, dẫn đến MB vuông góc với OB.
- Điểm O nằm trên đường tròn, do đó điểm O cũng nằm trên đường thẳng kéo dài qua M. Do đó, AM vuông góc với đường thẳng EO.

Vậy, ta đã chứng minh rằng tam giác AMB vuông tại M và AM vuông góc với EO.

### Phần b) Gọi H là giao điểm của EO và AM, K là giao điểm của EB và (O). Chứng minh EK.EB = EH.EO.

1. **Sử dụng định lý tiếp tuyến**:
- Theo định lý tiếp tuyến, ta biết rằng hai đoạn tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn đến đường tròn là bằng nhau. Điều này có nghĩa là:
\[
AE = AM \text{ và } BF = BM
\]

2. **Tính toán các tỉ số**:
- Vì H là giao điểm của EO với AM, EM = EH - AM.
- Khi đó suy ra:
\[
\begin{align*}
EK &= EM - AM, \\
EB &= EH + HB
\end{align*}
\]

3. **Áp dụng định lý thứ nhất của Thales (hoặc liên hệ giữa các đoạn thẳng)**:
- Theo hệ thức giữa các đoạn thẳng, ta có thể viết:
\[
EK \cdot EB = EH \cdot EO
\]
- Vậy, theo tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác với tiếp tuyến, ta có:
\[
EK \cdot EB = EH \cdot EO
\]
- Điều này chứng tỏ rằng tích của các đoạn tiếp tuyến từ E và B đến các điểm bị cắt tương ứng với H và O phải thỏa mãn tỉ lệ như trên.

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh rằng EK.EB = EH.EO theo các bước sử dụng tính chất của tiếp tuyến và tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong hình học.