Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

**a)** Chứng minh bốn điểm O, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn.

Xét tam giác OMA, ta có:
- OA = OB = R (góc vuông tại A, B vì MA, MB là các tiếp tuyến).
- OM > OA và OM > OB.

Áp dụng tính chất của các tiếp tuyến, trong tam giác OMA:
\[
\angle OMA = 90^\circ
\]

Tương tự:
\[
\angle OMB = 90^\circ
\]

Từ đó, ta có:
\[
\angle AMO = \angle BMO = 90^\circ - \angle AOM
\]

Suy ra:
\[
\angle AOB = \angle AMO + \angle BMO = 90^\circ + 90^\circ - \angle AOM = 180^\circ - \angle AOM
\]

Vì \(AB\) đối diện với \(OM\) và \(O\) nằm bên trong góc \(AOB\), do đó điểm O, A, M, B nằm trên cùng một đường tròn với đường kính là OM.

**b)** Chứng minh: \(AB \perp OM\) tại H và \(OA^2 = OH \cdot OM\).

Xét vị trí của H (giao điểm của AB và OM):
- Do AB là tiếp tuyến tại A và B, cho nên \(OA\) vuông góc với MA và \(OB\) vuông góc với MB.

Suy ra:
\[
\angle AMO = 90^\circ \text{ và } \angle BMO = 90^\circ
\]

Từ đó:
\[
AB \perp OM \text{ tại H}
\]

Để chứng minh \(OA^2 = OH \cdot OM\):
- Theo định lý tiếp tuyến, ta có:
\[
OM^2 = OA^2 + AH^2
\]
- Mặt khác, từ đó ta có: \(AH = OH\) (vì H là giao điểm).

Từ đó:
\[
OM^2 = OA^2 + OH^2
\]
Chuyển đổi ta được:
\[
OA^2 = OM^2 - OH^2
\]
Áp dụng Hệ thức lượng trong tam giác vuông OH (trong đó H là trung điểm của AB), ta suy ra:
\[
OA^2 = OH \cdot OM
\]

**c)** Vẽ BE cắt AC tại E, BE cắt MC tại F. Chứng minh: F là trung điểm EB.

Giả sử E là điểm thuộc đường thẳng AC. Theo định nghĩa, BE cắt MC tại F.

Từ H là giao điểm giữa AB và OM, chúng ta có:
- AH = BH (đường chéo của hình chữ nhật AEFB)

Khi đó, ta có \(AF = FB\) do BE là một đường thẳng, mà AE = EB thì F sẽ là trung điểm của EB.

Do đó, ta có:
\[
F \text{ là trung điểm của } EB
\]

Tóm lại, bốn điểm O, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn; AB vuông góc với OM tại H và \(OA^2 = OH \cdot OM\); điểm F là trung điểm của EB.