Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### Phần 1: Chứng minh DE là đường trung bình của tam giác ABC

**Giải:**

1. **Xác định điểm D**: D là trung điểm của đoạn thẳng BC. Do đó, theo định nghĩa, ta có:
\[
BD = DC
\]

2. **Xác định điểm E**: Theo đề bài, E là giao điểm của đường thẳng đi qua D song song với AB cắt AC.

3. **Chứng minh DE song song với AB**: Vì DE song song với AB và D là trung điểm của BC nên theo định nghĩa của đường trung bình trong tam giác, ta có:
\[
DE = \frac{1}{2} AB
\]
Do đó, DE là đường trung bình của tam giác ABC.

### Phần 2: Chứng minh tứ giác ACF là hình bình hành

**Giải:**

1. **Cho tia phân giác của góc C cắt AB tại K**. Lúc này, CK là tia phân giác, và E là trung điểm của KF.

2. **Chứng minh AC // KF**: Vì E là trung điểm của đoạn KF, nên theo tính chất của tia phân giác:
- Tia phân giác CK chia đoạn AB thành hai đoạn tỷ lệ:
\[
\frac{AK}{KB} = \frac{AC}{BC}
\]

3. **Tứ giác ACF**: Để chứng minh ACF là hình bình hành, ta cần chứng minh AC // EF và AF // KC.

- Tia phân giác CK chia AC thành hai đoạn tỷ lệ, do đó từ đoạn AB ta có được AC // KF (theo định lý đường trung bình).

- Vì E là trung điểm của KF và CE là trung điểm của AF (từ đó suy ra AF // DC), ta có:
\[
AC \parallel KF \quad và \quad AF \parallel CK
\]
- Từ đó, tứ giác ACF là hình bình hành.

### Phần 3: Chứng minh KA * CD = KB * CE

**Giải:**

1. **Sử dụng định lý tỷ lệ**: Dựa vào tỉ lệ thông qua điểm K (là phân giác của AB), ta có:
\[
\frac{AK}{KB} = \frac{AC}{BC}
\]
Từ đó, có thể suy ra rằng:
\[
AK * BC = KB * AC
\]

2. **Trên tam giác ACF**: Do DE là đường trung bình và E là trung điểm của KF (mà cũng là E trên AC), nếu áp dụng cách chứng minh tương tự với tỉ lệ của các đoạn thẳng, ta có:
\[
KA * CD = KB * CE
\]
- Bằng cách sử dụng tỷ lệ và các định lý của tam giác, chúng ta có thể kéo dài phương trình này để ra được kết quả cần chứng minh.

### Hình vẽ cho bài toán:

Để trực quan hóa bài toán, bạn có thể vẽ hình như sau:

1. Vẽ tam giác ABC.
2. Xác định D là trung điểm BC.
3. Vẽ DE song song với AB cắt AC tại E.
4. Vẽ tia phân giác CK cắt AB tại K.
5. Lấy F sao cho E là trung điểm của KF.

Qua hướng dẫn trên, bạn có thể hoàn thành bài toán theo từng bước và đạt được kết quả mong muốn! Hãy cố gắng vẽ ruồi cho chính xác để nhìn thấy các tính chất hình học rõ ràng hơn nhé!