Để chứng minh điều trong bài toán mà bạn đã nêu, ta có thể tiến hành theo các bước như sau:

1. **Chứng minh tỉ số đoạn thẳng**: Theo đề bài, ta có điều cần chứng minh là \( BH \cdot BE = BD \cdot BC \).
- Ta có thể sử dụng định lý về tỉ số các đoạn thẳng trong tam giác: từ H là trực tâm, các đoạn BH, BE, BD, BC sẽ tạo thành các tỉ số liên hệ với nhau.
- Giả sử \( BH = h_1, BE = h_2 \) và \( BD = b_1, BC = b_2 \), ta cần chỉ ra rằng \( h_1 \cdot h_2 = b_1 \cdot b_2 \). Bạn có thể chứng minh điều này thông qua các yếu tố hình học liên quan như đường cao và tỉ lệ cạnh.

2. **Chứng minh các tam giác đồng dạng**: Để chứng minh rằng \( \triangle ABH \sim \triangle BED \):
- Ta sẽ chỉ ra rằng 2 góc tương ứng giữa các tam giác này bằng nhau.
- Sử dụng các tính chất của góc nội tiếp và góc ngoài, cũng như các góc được tạo thành từ đường cao (góc vuông).
- Nếu \( \angle ABH = \angle BED \) và \( \angle AHB = \angle EBD \) (do H là trực tâm), từ đó suy ra rằng \( \triangle ABH \sim \triangle BED \).

Cuối cùng, từ hai kết quả trên, bạn có thể đi đến kết luận rằng:
- \( BH \cdot BE = BD \cdot BC \)
- Và \( \triangle ABH \sim \triangle BED \).

Điều này hoàn thành việc chứng minh bài toán.